Номер 58, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

58. Дан прямоугольник $ABCD$ (рис. 53), $BH \perp AC$, $\angle 1 = 28^\circ$. Найдите $\angle 2$.

Рис. 53

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По условию задачи $BH \perp AC$, из чего следует, что $\angle BHA = 90^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Зная, что $\angle 1 = \angle ABH = 28^\circ$, мы можем найти угол $\angle BAH$ (который также является углом $\angle BAC$):

$\angle BAC = \angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. В прямоугольнике ABCD диагонали равны и точкой пересечения O делятся пополам. Отсюда следует, что $BO = CO$. Таким образом, треугольник $\triangle BOC$ является равнобедренным с основанием BC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

Угол $\angle OCB$ является частью прямого угла $\angle C$ прямоугольника. Для нахождения угла $\angle OCB$ (который совпадает с $\angle BCA$), воспользуемся свойством прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^\circ$): сумма его острых углов равна $90^\circ$.

$\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$.

Следовательно, в равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ оба угла при основании равны $28^\circ$: $\angle OBC = \angle OCB = 28^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle 2 = \angle COB$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle COB = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (28^\circ + 28^\circ) = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

Ответ: $124^\circ$.