Номер 61, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

61. В прямоугольнике $ABCD$ $AC = 12 \text{ см}$, $\angle ADB = 15^\circ$. Найдите расстояние от вершины $A$ до прямой $BD$.

Расстояние от вершины A до прямой BD — это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BD. Обозначим этот перпендикуляр AH, где точка H лежит на прямой BD.

1. Найдём длину отрезков диагоналей.
Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. В прямоугольнике диагонали равны ($AC = BD$) и в точке пересечения делятся пополам. По условию $AC = 12$ см, следовательно, $BD = 12$ см. Так как диагонали делятся пополам, отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ равны: $AO = BO = CO = OD = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Найдём угол между половинами диагоналей.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $\angle A = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$. Нам известен $\angle ADB = 15^\circ$, поэтому мы можем найти другой острый угол: $\angle ABD = 90^\circ - \angle ADB = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO = 6$ см, этот треугольник является равнобедренным с основанием AB. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = 75^\circ$. Зная два угла треугольника $AOB$, найдём третий угол при вершине O: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3. Вычислим искомое расстояние.
Искомое расстояние AH является высотой в треугольнике $AOB$, проведённой из вершины A к стороне BO (которая лежит на прямой BD). Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник $AOH$ ($\angle AHO = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $AO = 6$ см;
• угол $\angle AOH$, который равен углу $\angle AOB$, то есть $30^\circ$.

Катет AH, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Также его можно вычислить, используя определение синуса: $AH = AO \cdot \sin(\angle AOH)$ $AH = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.