Номер 67, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

67. Составьте алгоритм построения при помощи циркуля и линейки пря- моугольника по следующим элементам:

а) по двум соседним сторонам $a$ и $b$;

б) по стороне $a$ и диагонали $d$;

в) по диагонали $d$ и углу между диагоналями.

а) по двум соседним сторонам a и b;

Для построения прямоугольника по двум соседним сторонам $a$ и $b$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный по длине стороне $a$.
3. В точке $B$ построить прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
4. На этой перпендикулярной прямой отложить от точки $B$ отрезок $BC$, равный по длине стороне $b$.
5. Из точки $C$ провести дугу окружности радиусом, равным $a$.
6. Из точки $A$ провести дугу окружности радиусом, равным $b$.
7. Точку пересечения этих двух дуг обозначить как $D$. Эта точка является четвертой вершиной прямоугольника.
8. Соединить отрезками точки $D$ с $A$ и $D$ с $C$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами, равными $a$ и $b$.

б) по стороне a и диагонали d;

Для построения прямоугольника по стороне $a$ и диагонали $d$ (при условии, что $d > a$) необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить прямоугольный треугольник по катету $a$ и гипотенузе $d$. Для этого:
а. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
б. Отложить на прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный стороне $a$.
в. В точке $B$ построить прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
г. Из точки $A$ провести дугу окружности радиусом, равным диагонали $d$.
д. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначить как $C$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный, он является половиной искомого прямоугольника.
2. Для нахождения четвертой вершины $D$ нужно:
а. Измерить циркулем длину стороны $BC$.
б. Из точки $A$ провести дугу окружности радиусом, равным $BC$.
в. Из точки $C$ провести дугу окружности радиусом, равным $a$.
3. Точку пересечения этих двух дуг обозначить как $D$.
4. Соединить отрезками точки $D$ с $A$ и $D$ с $C$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Ответ: Построен прямоугольник со стороной $a$ и диагональю $d$.

в) по диагонали d и углу между диагоналями.

Свойство прямоугольника: его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Алгоритм построения:
1. Построить две прямые, пересекающиеся в точке $O$ под заданным углом $\alpha$. Эти прямые будут содержать диагонали прямоугольника.
2. Построить середину отрезка $d$. Для этого нужно провести серединный перпендикуляр к отрезку $d$. Получим отрезок длиной $d/2$.
3. На одной из построенных прямых отложить от точки $O$ в противоположных направлениях два отрезка $OA$ и $OC$, каждый длиной $d/2$.
4. На второй прямой аналогично отложить от точки $O$ в противоположных направлениях два отрезка $OB$ и $OD$, каждый длиной $d/2$.
5. Последовательно соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как по построению его диагонали $AC$ и $BD$ равны $d$ и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

Ответ: Построен прямоугольник с диагональю $d$ и заданным углом $\alpha$ между диагоналями.