Номер 70, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

70. Используя транспортир, постройте равносторонний треугольник. Достройте его до ромба. Проведите другую диагональ этого ромба. Убедитесь, что диагонали ромба перпендикулярны. Найдите величину угла, образованного большей диагональю ромба и его стороной.

Задача решается в несколько шагов, следуя инструкциям.

Используя транспортир, постройте равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, поэтому каждый угол равностороннего треугольника составляет $180° / 3 = 60°$.
Чтобы построить такой треугольник с помощью транспортира, нужно выполнить следующие действия:

1. Начертить произвольный отрезок, который будет одной из сторон треугольника. Обозначим его вершины как A и C.
2. Приложить транспортир к точке A и отложить угол в $60°$. Провести через точку A луч под этим углом.
3. Приложить транспортир к точке C и отложить угол в $60°$. Провести через точку C луч под этим углом.
4. Точка пересечения двух лучей будет третьей вершиной треугольника. Обозначим ее B.

Получившийся треугольник ABC является равносторонним, так как два его угла (при вершинах A и C) равны по $60°$, а значит и третий угол при вершине B также равен $180° - (60° + 60°) = 60°$.
Ответ: Равносторонний треугольник ABC построен.

Достройте его до ромба.

Ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Чтобы достроить равносторонний треугольник ABC до ромба, нужно построить еще один такой же треугольник, имеющий с первым общую сторону.
Построим на стороне AC треугольник ADC, равный треугольнику ABC, так, чтобы вершина D находилась с другой стороны от прямой AC, нежели вершина B. Для этого от лучей AC и CA отложим углы $\angle CAD = 60°$ и $\angle ACD = 60°$ в нужную полуплоскость. Точка пересечения новых лучей и будет вершиной D.
В результате мы получим четырехугольник ABCD. Поскольку треугольники ABC и ADC равносторонние и имеют общую сторону AC, их стороны равны: $AB = BC = AC$ и $AD = DC = AC$. Отсюда следует, что все стороны четырехугольника ABCD равны между собой: $AB = BC = CD = DA$. Следовательно, фигура ABCD является ромбом.
Ответ: Треугольник достроен до ромба ABCD путем построения второго равностороннего треугольника ADC на общей стороне AC.

Проведите другую диагональ этого ромба. Убедитесь, что диагонали ромба перпендикулярны.

В построенном ромбе ABCD одна диагональ уже есть — это отрезок AC. Вторая диагональ соединяет две другие вершины — B и D. Проведем отрезок BD.
Чтобы убедиться в перпендикулярности диагоналей AC и BD, можно приложить угольник или транспортир к точке их пересечения и измерить угол. Измерение покажет, что угол равен $90°$.
Это свойство можно также доказать. Рассмотрим треугольник ABD. Так как стороны ромба равны, то $AB = AD$, и треугольник ABD является равнобедренным. Диагональ AC является биссектрисой угла $\angle BAD$, так как по построению $\angle BAC = \angle DAC = 60°$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и высотой. Следовательно, AC перпендикулярна основанию BD.
Ответ: Другая диагональ — BD. Диагонали AC и BD перпендикулярны, что можно проверить измерением или доказать геометрически.

Найдите величину угла, образованного большей диагональю ромба и его стороной.

Сначала определим, какая из диагоналей больше. В ромбе ABCD углы равны $\angle B = \angle D = 60°$, а углы $\angle A = \angle C = 60° + 60° = 120°$. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона.

• В треугольнике ABC диагональ AC лежит напротив угла $\angle B = 60°$.
• В треугольнике ABD диагональ BD лежит напротив угла $\angle A = 120°$.

Поскольку $120° > 60°$, диагональ BD длиннее диагонали AC. Значит, BD — это большая диагональ.
Нам нужно найти величину угла между большей диагональю (BD) и стороной ромба (например, AB). Искомый угол — это $\angle ABD$.
Рассмотрим треугольник ABD. Он является равнобедренным ($AB = AD$). Угол при вершине A равен $\angle BAD = 120°$. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, то есть $\angle ABD = \angle ADB$.
Так как сумма углов в треугольнике равна $180°$, мы можем вычислить углы при основании:
$\angle ABD = (180° - \angle BAD) / 2$
$\angle ABD = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°$
Ответ: Величина угла, образованного большей диагональю ромба и его стороной, равна $30°$.