Номер 71, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

71. По данным на рисунках 65, а)—в) решите следующие задачи:

а) Найдите периметр ромба $ABCD$ (рис. 65, а), если $AB + BC + AD = 36$ см.

б) $ABCD$ — ромб, $\angle ACB = 55^\circ$ (рис. 65, б). Найдите $\angle ACD$ и $\angle ABC$.

в) Найдите диагональ $BD$ ромба $ABCD$ (рис. 65, в) с периметром 64 см, если $\angle A = 60^\circ$.

Рис. 65

а) Найдите периметр ромба ABCD (рис. 65, а), если $AB + BC + AD = 36$ см.

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Обозначим сторону ромба буквой $a$.
Следовательно, $AB = BC = CD = AD = a$.
По условию задачи дано, что сумма трех его сторон равна 36 см:
$AB + BC + AD = 36$ см.
Заменим названия сторон на $a$:
$a + a + a = 36$ см
$3a = 36$ см
Найдем длину одной стороны ромба:
$a = \frac{36}{3} = 12$ см.
Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его четырех сторон:
$P = 4a$
$P = 4 \cdot 12 = 48$ см.
Ответ: 48 см.

б) ABCD — ромб, $∠ACB = 55°$ (рис. 65, б). Найдите $∠ACD$ и $∠ABC$.

1. Найдем $∠ACD$.
В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, следовательно, $∠BAC = ∠ACD$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как у ромба все стороны равны, то $AB = BC$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠BAC = ∠ACB$.
По условию $∠ACB = 55°$, значит, $∠BAC = 55°$.
Так как $∠ACD = ∠BAC$, то $∠ACD = 55°$.
2. Найдем $∠ABC$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $ABC$ имеем:
$∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°$
Подставим известные значения углов:
$∠ABC + 55° + 55° = 180°$
$∠ABC + 110° = 180°$
$∠ABC = 180° - 110° = 70°$.
Ответ: $∠ACD = 55°$, $∠ABC = 70°$.

в) Найдите диагональ BD ромба ABCD (рис. 65, в) с периметром 64 см, если $∠A = 60°$.

1. Найдем сторону ромба.
Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны ромба.
По условию $P = 64$ см.
$4a = 64$ см
$a = \frac{64}{4} = 16$ см.
Таким образом, все стороны ромба равны 16 см: $AB = BC = CD = AD = 16$ см.
2. Найдем диагональ BD.
Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — это две стороны ромба $AB$ и $AD$ и диагональ $BD$.
Так как $AB = AD = 16$ см, треугольник $ABD$ является равнобедренным.
По условию, угол $A$ (то есть $∠BAD$) равен $60°$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠ABD = ∠ADB$.
Сумма углов треугольника $ABD$ равна $180°$:
$∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°$
$60° + ∠ABD + ∠ADB = 180°$
Так как $∠ABD = ∠ADB$, то $2 \cdot ∠ABD = 180° - 60° = 120°$.
$∠ABD = \frac{120°}{2} = 60°$.
Следовательно, все углы треугольника $ABD$ равны $60°$ ($∠BAD = ∠ABD = ∠ADB = 60°$). Это означает, что треугольник $ABD$ — равносторонний.
В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому диагональ $BD$ равна сторонам $AB$ и $AD$.
$BD = AB = AD = 16$ см.
Ответ: 16 см.