Номер 57, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

57. Докажите следующие признаки прямоугольника:

а) Если у четырехугольника три угла прямые, то это прямоугольник.

б) Если у четырехугольника все углы равны, то это прямоугольник.

а) Если у четырехугольника три угла прямые, то это прямоугольник.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, у которого три угла прямые. Для определенности, пусть $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$ и $\angle C = 90^\circ$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ справедливо равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение, чтобы найти величину четвертого угла $\angle D$:

$90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle D = 360^\circ$

$270^\circ + \angle D = 360^\circ$

$\angle D = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$

Таким образом, все четыре угла данного четырехугольника равны $90^\circ$. По определению, четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Если у четырехугольника все углы равны, то это прямоугольник.

Пусть дан четырехугольник, у которого все углы равны. Обозначим величину каждого угла переменной $x$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника всегда составляет $360^\circ$. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение:

$x + x + x + x = 360^\circ$

$4x = 360^\circ$

Решим уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Мы выяснили, что каждый угол четырехугольника равен $90^\circ$. Это означает, что все его углы — прямые.

По определению, прямоугольник — это четырехугольник со всеми прямыми углами. Следовательно, данный четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано.