Номер 79, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

79. Составьте алгоритм построения ромба с помощью циркуля и линейки:

а) по двум диагоналям $d_1$ и $d_2$;

б) по отрезку $m$, равному периметру ромба, и острому углу $\alpha$ ромба.

а) по двум диагоналям $d_1$ и $d_2$

Для построения ромба по двум его диагоналям $d_1$ и $d_2$ используется свойство, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую. На этой прямой откладываем отрезок $AC$, равный длине первой диагонали $d_1$.
2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого:
   • Из точек $A$ и $C$ циркулем проводим две пары дуг одинакового радиуса (больше половины длины $AC$) с обеих сторон от отрезка.
   • Через точки пересечения этих дуг проводим прямую. Эта прямая будет перпендикулярна отрезку $AC$ и пройдет через его середину, точку $O$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $O$ в обе стороны откладываем отрезки, равные половине длины второй диагонали, то есть $d_2/2$. Для этого:
   • Сначала необходимо построить отрезок, равный $d_2/2$. Это делается путем построения отрезка длиной $d_2$ и его деления пополам с помощью построения серединного перпендикуляра.
   • Раствором циркуля, равным $d_2/2$, из центра $O$ делаем засечки на перпендикулярной прямой, получая точки $B$ и $D$. Таким образом, $OB = OD = d_2/2$.
4. Последовательно соединяем точки $A, B, C$ и $D$ с помощью линейки.

Построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как его диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$ взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам.

Ответ: Построение выполнено.

б) по отрезку $m$, равному периметру ромба, и острому углу $\alpha$ ромба

Для построения ромба по его периметру $m$ и острому углу $\alpha$ используется свойство, что все стороны ромба равны. Длина стороны ромба $a$ будет равна $a = m/4$. Алгоритм построения следующий:

1. Находим длину стороны ромба $a$. Для этого данный отрезок $m$ нужно разделить на 4 равные части.
   • Строим серединный перпендикуляр к отрезку $m$, чтобы разделить его пополам на два отрезка длиной $m/2$.
   • Строим серединный перпендикуляр к одному из полученных отрезков длиной $m/2$. В результате получаем отрезок длиной $a = m/4$.
2. Строим угол, равный данному углу $\alpha$.
   • Проводим произвольный луч с началом в точке $A$.
   • С помощью циркуля и линейки копируем данный угол $\alpha$ так, чтобы его вершина была в точке $A$, а одна из сторон совпадала с построенным лучом. Получим второй луч, выходящий из точки $A$.
3. На сторонах построенного угла от вершины $A$ откладываем отрезки, равные стороне ромба $a$.
   • Раствором циркуля, равным длине $a$, делаем засечки на обоих лучах, исходящих из точки $A$. Получаем точки $B$ и $D$. Таким образом, $AB = AD = a$.
4. Находим четвертую вершину ромба, точку $C$.
   • Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
   • Из точки $D$ проводим дугу окружности тем же радиусом $a$.
   • Точка пересечения этих дуг (отличная от точки $A$) и будет четвертой вершиной ромба — точкой $C$.
5. Последовательно соединяем точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$ с помощью линейки.

Построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как все его стороны по построению равны $a = m/4$ ($AB = AD = BC = DC = a$), а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. Его периметр равен $4a = 4(m/4) = m$.

Ответ: Построение выполнено.