Тест 1, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Какая из изображенных на рисунке фигур не является квадратом?

а) 1); б) 2); в) 3); г) все являются.

Докажите ваше утверждение.

1)

2)

3)

Для того чтобы определить, какая из фигур не является квадратом, необходимо проверить каждую из них на соответствие определению квадрата. Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$). Примем сторону одной клетки на рисунке за единицу длины.

a) 1)

Фигура 1 — это четырехугольник, стороны которого расположены вдоль линий сетки. Путем подсчета клеток можно установить, что длина каждой стороны равна 6 единицам. Поскольку стороны фигуры параллельны линиям координатной сетки, все ее внутренние углы являются прямыми. Таким образом, фигура 1 полностью удовлетворяет определению квадрата.

б) 2)

Каждая сторона фигуры 2 является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 единицам. Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны: $a = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$. Все четыре стороны имеют одинаковую длину, следовательно, эта фигура — ромб. Диагонали этого ромба лежат на линиях сетки, одна вертикальна, другая горизонтальна, значит, они перпендикулярны. Длина каждой диагонали равна 6 единицам. Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. Следовательно, фигура 2 также является квадратом.

в) 3)

Каждая сторона фигуры 3 является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен 2 единицам, а другой — 4 единицам. По теореме Пифагора, длина каждой стороны равна $c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$. Так как все стороны равны, фигура является ромбом. Чтобы определить, является ли этот ромб квадратом, проверим равенство его диагоналей. Первая диагональ соединяет вершины, которые смещены друг относительно друга на 6 единиц по горизонтали и 2 единицы по вертикали. Ее длина $d_1 = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$. Вторая диагональ соединяет вершины, смещенные на 2 единицы по горизонтали и 6 единиц по вертикали. Ее длина $d_2 = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$. Поскольку диагонали ромба равны ($d_1 = d_2$), он является квадратом. Следовательно, фигура 3 — это квадрат.

г) все являются

Проведенный анализ показал, что все три фигуры (1, 2 и 3) являются квадратами. Это означает, что среди предложенных фигур нет такой, которая не является квадратом. Поэтому верным является утверждение, что все изображенные фигуры являются квадратами.

Ответ: г)