Номер 85, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

85. На рисунке 78 $ABCD$ — квадрат, его сторона равна $12 \text{ см}$. Найдите периметр прямоугольника $AKMN$.

Рис. 78

Найдите периметр прямоугольника AKMN

Согласно условию, фигура ABCD является квадратом со стороной 12 см. Это означает, что все стороны квадрата равны ($AB = BC = CD = DA = 12$ см), а все его углы прямые.

Диагональ BD делит прямой угол $\angle ADC$ пополам, поэтому $\angle BDA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MND$. Так как AKMN — прямоугольник, его сторона MN перпендикулярна стороне AD (поскольку AN лежит на AD). Следовательно, угол $\angle MND = 90^\circ$. Угол $\angle MDN$ совпадает с углом $\angle BDA$, поэтому $\angle MDN = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $\triangle MND$:
$\angle DMN = 180^\circ - \angle MND - \angle MDN = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle MND$ равны ($\angle MDN = \angle DMN = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $MN = ND$.

По свойству прямоугольника AKMN, его противоположные стороны равны, то есть $AK = MN$.

Объединяя два последних равенства, получаем, что $AK = ND$.

Периметр прямоугольника AKMN вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AK + AN)$.

Сторона квадрата AD представляет собой сумму длин отрезков AN и ND: $AD = AN + ND$. Подставляя длину стороны квадрата, получаем $12 = AN + ND$.

Заменим в этом выражении отрезок ND на равный ему отрезок AK: $12 = AN + AK$.

Теперь подставим полученную сумму в формулу для периметра: $P = 2 \cdot (AN + AK) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.