Номер 89, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

89. В равнобедренный прямоугольный треугольник помещен квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие на катетах (рис. 79). Найдите гипотенузу треугольника, если периметр квадрата равен 112 см.

Рис. 79

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, в котором $∠B = 90°$. Так как треугольник равнобедренный, то его катеты равны ($AB = BC$), а углы при основании (гипотенузе AC) равны $∠A = ∠C$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠A = ∠C = (180° - 90°) / 2 = 45°$.

В треугольник вписан квадрат. Обозначим его вершины как K, L, M, N, где вершины K и N лежат на гипотенузе AC, вершина L — на катете BC, а вершина M — на катете AB. Сторона KN квадрата лежит на гипотенузе треугольника.

Решение:

1. Найдём сторону квадрата.
Периметр квадрата $P$ равен 112 см. Пусть сторона квадрата равна $a$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.
Отсюда можем найти длину стороны $a$:
$a = P / 4 = 112 / 4 = 28$ см.
Значит, $KL = LM = MN = NK = 28$ см.

2. Рассмотрим треугольники, образованные по углам от квадрата.
Рассмотрим треугольник AMN, который находится в левом углу.
Угол $∠A = 45°$. Так как KLMN — квадрат, его сторона MN перпендикулярна стороне NK, которая лежит на гипотенузе AC. Следовательно, $MN ⊥ AC$, и угол $∠MNA = 90°$.
Найдем третий угол в треугольнике AMN: $∠AMN = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Поскольку два угла в треугольнике AMN равны, он является равнобедренным. Его катеты AN и MN равны.
$AN = MN = a = 28$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник CLK, который находится в правом углу.
Угол $∠C = 45°$. Сторона KL квадрата перпендикулярна стороне NK, а значит, и гипотенузе AC. Следовательно, $∠KLC = 90°$.
Третий угол в треугольнике CLK, $∠CLK = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Треугольник CLK также является равнобедренным, и его катеты CK и KL равны.
$CK = KL = a = 28$ см.

3. Найдём длину гипотенузы.
Гипотенуза AC состоит из трёх отрезков: AN, NK и KC.
$AC = AN + NK + KC$
Мы знаем, что $AN = a$, $KC = a$, а отрезок NK является стороной квадрата, поэтому $NK = a$.
Таким образом, длина гипотенузы равна:
$AC = a + a + a = 3a$
Подставим найденное значение стороны квадрата $a = 28$ см:
$AC = 3 \cdot 28 = 84$ см.

Ответ: 84 см.