Номер 93, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

93. На сторонах параллелограмма построены квадраты (сторона каждого квадрата равна соответствующей стороне параллелограмма). Докажите, что центры построенных квадратов являются вершинами квадрата.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. На его сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ внешним образом построены квадраты. Обозначим центры этих квадратов как $O_1$, $O_2$, $O_3$ и $O_4$ соответственно. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $O_1O_2O_3O_4$ является квадратом. Для этого докажем, что у него все стороны равны и один из углов прямой (например, $\angle O_1O_2O_3 = 90^\circ$).

Рассмотрим треугольники $\triangle O_1BO_2$ и $\triangle O_3CO_2$. Наша цель — доказать их равенство.

1. Найдем стороны треугольников.

• $O_1$ — центр квадрата на стороне $AB$. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно $a/\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. Следовательно, $O_1B = AB/\sqrt{2}$.
• $O_2$ — центр квадрата на стороне $BC$. Аналогично, $O_2B = BC/\sqrt{2}$ и $O_2C = BC/\sqrt{2}$. Отсюда $O_2B = O_2C$.
• $O_3$ — центр квадрата на стороне $CD$. Следовательно, $O_3C = CD/\sqrt{2}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AB=CD$. Сравнивая длины сторон, получаем: $O_1B = AB/\sqrt{2} = CD/\sqrt{2} = O_3C$.

2. Найдем углы треугольников.

• Рассмотрим угол $\angle O_1BO_2$. Он состоит из трех углов при вершине $B$: угла параллелограмма $\angle ABC$ и двух углов по $45^\circ$ от прилегающих квадратов (углы между диагональю и стороной квадрата). Так как квадраты построены внешним образом, угол $\angle O_1BO_2$ является внешним по отношению к этим трем углам и равен $360^\circ - \angle O_1BA - \angle ABC - \angle CBO_2$. Поскольку $\angle O_1BA = 45^\circ$ и $\angle CBO_2 = 45^\circ$, получаем: $\angle O_1BO_2 = 360^\circ - 45^\circ - \angle ABC - 45^\circ = 270^\circ - \angle ABC$.
• Рассмотрим угол $\angle O_3CO_2$. Он состоит из суммы трех углов при вершине $C$: $\angle BCD$ и двух углов по $45^\circ$ от квадратов. $\angle O_3CO_2 = \angle O_3CD + \angle BCD + \angle BCO_2 = 45^\circ + \angle BCD + 45^\circ = 90^\circ + \angle BCD$.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$, откуда $\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC$. Подставим это в выражение для $\angle O_3CO_2$: $\angle O_3CO_2 = 90^\circ + (180^\circ - \angle ABC) = 270^\circ - \angle ABC$. Таким образом, мы получили, что $\angle O_1BO_2 = \angle O_3CO_2$.

3. Доказательство равенства треугольников и его следствия. Мы имеем:

• $O_1B = O_3C$
• $O_2B = O_2C$
• $\angle O_1BO_2 = \angle O_3CO_2$

Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, $\triangle O_1BO_2 \cong \triangle O_3CO_2$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $O_1O_2 = O_2O_3$.

4. Доказательство перпендикулярности. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки $O_2$ на угол $90^\circ$. Пусть $R_{O_2}^{90^\circ}$ — такой поворот (например, по часовой стрелке). Поскольку $O_2$ — центр квадрата, построенного на $BC$, то при этом повороте вершина $C$ перейдет в вершину $B$: $R_{O_2}^{90^\circ}(C) = B$. При этом повороте отрезок $O_2C$ перейдет в отрезок $O_2B$. Из равенства $\triangle O_1BO_2 \cong \triangle O_3CO_2$ следует, что при повороте $R_{O_2}^{90^\circ}$ треугольник $\triangle O_3CO_2$ полностью совместится с треугольником $\triangle O_1BO_2$. Это означает, что точка $O_3$ перейдет в точку $O_1$: $R_{O_2}^{90^\circ}(O_3) = O_1$. По определению поворота, если $R_{O_2}^{90^\circ}(O_3) = O_1$, то отрезок $O_2O_3$ равен по длине отрезку $O_2O_1$ и угол между ними равен $90^\circ$. То есть, $O_2O_3 = O_2O_1$ и $\angle O_1O_2O_3 = 90^\circ$.

Ответ: Смежные стороны четырехугольника $O_1O_2O_3O_4$ равны ($O_1O_2 = O_2O_3$) и перпендикулярны ($O_1O_2 \perp O_2O_3$).

Мы доказали, что для произвольной вершины $O_2$ четырехугольника $O_1O_2O_3O_4$ смежные с ней стороны ($O_1O_2$ и $O_2O_3$) равны и перпендикулярны. Проведя аналогичные рассуждения для других вершин ($O_3$, $O_4$, $O_1$), можно показать, что все стороны четырехугольника $O_1O_2O_3O_4$ равны между собой, и все его углы равны $90^\circ$. Следовательно, четырехугольник $O_1O_2O_3O_4$ является квадратом.

Ответ: Центры построенных квадратов являются вершинами квадрата.