Номер 96, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

96. На рисунке 92 $a \parallel b \parallel c$. По данным длинам отрезков найдите величину $x + y$.

Рис. 92

Для решения данной задачи применяется обобщенная теорема Фалеса (также известная как теорема о пропорциональных отрезках). Эта теорема утверждает, что если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые (секущие), то отрезки, отсекаемые на одной секущей, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой секущей.

В условии дано, что прямые $a \parallel b \parallel c$. На рисунке видно, что эти параллельные прямые пересекаются двумя секущими линиями. Отрезки, образованные на этих секущих, будут пропорциональны.

Нахождение x

Рассмотрим отрезки, которые отсекают параллельные прямые $a, b$ и $c$ на обеих секущих. По теореме Фалеса, отношение отрезков на одной секущей равно отношению соответствующих отрезков на другой. Сравним отрезки, заключенные между прямыми $a$ и $b$, с отрезками, заключенными между прямыми $b$ и $c$.

Составим пропорцию:

$\frac{\text{отрезок между } a \text{ и } b \text{ на нижней секущей}}{\text{отрезок между } a \text{ и } b \text{ на верхней секущей}} = \frac{\text{отрезок между } b \text{ и } c \text{ на нижней секущей}}{\text{отрезок между } b \text{ и } c \text{ на верхней секущей}}$

Подставим значения длин отрезков, указанные на рисунке:

$\frac{4}{x} = \frac{4}{3}$

В этой пропорции числители дробей равны. Следовательно, для того чтобы равенство выполнялось, их знаменатели также должны быть равны.

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

Нахождение y

Аналогичным образом найдем значение $y$. На рисунке показано, что на секущих есть отрезки и после пересечения с прямой $c$. Это означает, что подразумевается еще одна прямая, параллельная $a, b$ и $c$. Сравним отрезки, заключенные между прямыми $b$ и $c$, с отрезками, следующими за прямой $c$.

Составим пропорцию:

$\frac{\text{отрезок между } b \text{ и } c \text{ на нижней секущей}}{\text{отрезок между } b \text{ и } c \text{ на верхней секущей}} = \frac{\text{отрезок после } c \text{ на нижней секущей}}{\text{отрезок после } c \text{ на верхней секущей}}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{3} = \frac{y}{3}$

В этой пропорции знаменатели дробей равны. Следовательно, для того чтобы равенство выполнялось, их числители также должны быть равны.

$y = 4$

Ответ: $y = 4$.

Нахождение величины x + y

Теперь, когда найдены значения $x$ и $y$, мы можем вычислить их сумму в соответствии с требованием задачи.

$x + y = 3 + 4 = 7$

Ответ: $7$.