Тест 2, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

$AB = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$.

Найдите $P_{MKN}$.

а) $30 \text{ см}$; б) $24 \text{ см}$; в) $18 \text{ см}$; г) $15 \text{ см}$.

Согласно условию задачи и обозначениям на чертеже, точки M, K и N являются серединами сторон AB, BC и AC треугольника ABC соответственно. Это следует из одинаковых штрихов на отрезках $AM$ и $MB$, $BK$ и $KC$, $AN$ и $NC$.

Отрезки MK, KN и NM являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Найдем длины сторон треугольника MKN, используя это свойство:

1. Сторона $MK$ является средней линией, соединяющей середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, она параллельна стороне $AC$ и равна ее половине: $MK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Сторона $KN$ является средней линией, соединяющей середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, она параллельна стороне $AB$ и равна ее половине: $KN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. Сторона $NM$ является средней линией, соединяющей середины сторон $AC$ и $AB$. Следовательно, она параллельна стороне $BC$ и равна ее половине: $NM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Периметр треугольника $MKN$ (обозначается $P_{MKN}$) равен сумме длин его сторон: $P_{MKN} = MK + KN + NM = 6 + 4 + 5 = 15$ см.

Альтернативный способ: Периметр треугольника, образованного средними линиями (такого как $MKN$), равен половине периметра исходного треугольника ($ABC$). Сначала найдем периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 8 + 10 + 12 = 30$ см. Теперь найдем периметр треугольника $MKN$: $P_{MKN} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — г) 15 см.

Ответ: г) 15 см.