Номер 98, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

98. Дан треугольник ABC (рис. 94), $AM = MB = 6$ см, $\angle MEB = \angle AKM = \angle C$, $MK = 7$ см, $KC = 5$ см. Найдите периметр треугольника ABC.

Рис. 94

Для нахождения периметра треугольника ABC необходимо найти длины всех его сторон: AB, BC и AC. Периметр $P_{ABC}$ вычисляется как сумма длин сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Согласно условию, точка M делит сторону AB на два равных отрезка $AM = MB = 6$ см. Следовательно, M — середина стороны AB, а её длина составляет: $AB = AM + MB = 6 + 6 = 12$ см.

Рассмотрим треугольники $ΔAKM$ и $ΔABC$. У них есть общий угол $∠A$. Также по условию дано равенство углов $∠AKM = ∠C$. Два треугольника, имеющие по два равных угла, подобны. Таким образом, $ΔAKM \sim ΔABC$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC} $$ Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения известных сторон $AM$ и $AB$: $$ k = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

Используя коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$, найдем длины сторон AC и BC. Из отношения $\frac{AK}{AC} = \frac{1}{2}$ следует, что $AC = 2 \cdot AK$, то есть точка K является серединой стороны AC. Так как по условию $KC = 5$ см, то $AK$ также равно 5 см. Длина стороны AC: $AC = AK + KC = 5 + 5 = 10$ см.

Из отношения $\frac{MK}{BC} = \frac{1}{2}$ и известной длины $MK = 7$ см, находим сторону BC: $BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14$ см.

(Условие $∠MEB = ∠C$ аналогично доказывает, что $ΔBEM \sim ΔBAC$, из чего следует, что E — середина стороны BC. Это подтверждает, что MK и ME являются средними линиями треугольника ABC).

Теперь, когда известны длины всех трех сторон, мы можем вычислить периметр треугольника ABC: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 12 + 14 + 10 = 36$ см.

Ответ: 36 см.