Реальная геометрия, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Для участия в республиканском конкурсе «Украсим Беларусь цветами» Маша, Алеся и Настя решили устроить квадратную клумбу в школьном дворе. Маша предлагает натянуть на четырех колышках по периметру клумбы четыре куска веревки одинаковой длины (рис. 82, а). Алеся предлагает натянуть на четырех колышках параллельно два куска веревки одинаковой длины, расстояние между которыми будет равно длине натянутых кусков (рис. 82, б). Настя предлагает взять два куска веревки одинаковой длины, отметить узелком их середины и натянуть веревки так, чтобы они пересекались в серединах и были перпендикулярны (рис. 82, в).

У какой из девочек обязательно получится квадрат с вершинами в местах расположения колышков? Объясните ваш ответ.

Клумбы какой формы есть во дворе вашей школы?

а) $a$

$a$

$a$

$a$

б) $a$

$a$

$a$

в) $a$

$a$

$90^\circ$

Рис. 82

У какой из девочек обязательно получится квадрат с вершинами в местах расположения колышков? Объясните ваш ответ.

Чтобы определить, чей метод гарантированно приведет к созданию квадрата, необходимо проанализировать геометрические фигуры, которые получаются в каждом из трех случаев.

Способ Маши (рис. 82, а). Маша предлагает создать четырехугольник, соединив четыре отрезка веревки одинаковой длины. Фигура, у которой все четыре стороны равны, по определению является ромбом. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Однако метод Маши не гарантирует равенство углов $90^\circ$, поэтому в результате может получиться ромб, который не является квадратом.

Способ Алеси (рис. 82, б). Алеся предлагает натянуть два одинаковых и параллельных куска веревки на расстоянии, равном их длине. Пусть длина веревок равна $a$. Тогда мы получаем параллелограмм, у которого две стороны равны $a$, и высота, проведенная между этими сторонами, также равна $a$. Такая фигура будет квадратом только в том случае, если она является прямоугольником. Однако метод не исключает построение непрямоугольного ("скошенного") параллелограмма, который квадратом не является.

Способ Насти (рис. 82, в). Настя предлагает использовать два равных отрезка веревки в качестве диагоналей будущей клумбы. Согласно ее плану, диагонали должны быть: 1) равны по длине; 2) перпендикулярны друг другу; 3) пересекаться в своих серединах. Четырехугольник, обладающий таким набором свойств диагоналей, является квадратом. Это следует из признаков фигур:

• Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
• Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
• Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.

Фигура, которая является одновременно и прямоугольником, и ромбом, — это квадрат. Таким образом, только способ Насти гарантирует получение квадрата.

Ответ: Квадрат обязательно получится у Насти.

Клумбы какой формы есть во дворе вашей школы?

Этот вопрос предполагает ответ, основанный на личных наблюдениях, так как форма клумб в разных школах может отличаться.

Ответ: Во дворе нашей школы есть клумбы прямоугольной и круглой формы. (Это пример ответа. Вам следует описать клумбы, которые находятся во дворе вашей школы).