Геометрия 3D, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

С понятием призмы мы познакомились в 7-м классе. У призмы две грани (основания) — это равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Если призма прямая, то боковые грани — прямоугольники. На рисунках 83, а)—в) изображены треугольная, четырехугольная, шестиугольная призмы.

Рис. 83

Отрезок, который соединяет соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, называется боковым ребром. Так как боковые грани призмы — параллелограммы, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то все боковые ребра призмы равны между собой.

1. Сколько у шестиугольной призмы: а) граней; б) ребер (включая боковые ребра и стороны оснований )?

Поверхность любой призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности, которая состоит из боковых граней. На чертеже невидимые ребра изображаются штриховыми линиями. У треугольной и четырехугольной изображенных на рисунках 83, а), б) призм одна сторона основания невидима и невидима одна («задняя») грань.

2. На рисунке 84 изображена прямая треугольная призма и ее развертка. С каким ребром совпадет ребро ED, если развертку сложить в призму?

Рис. 84

Призма, у которой основания являются параллелограммами, называется параллелепипедом (рис. 85, а), его боковые грани — параллелограммы. Противоположные грани любого параллелепипеда равны между собой.

Если боковые грани параллелепипеда — прямоугольники, это прямой параллелепипед. Его боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис. 85, б).

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то это прямоугольный параллелепипед. Все его грани — прямоугольники (рис. 85, в).

Если у прямоугольного параллелепипеда все ребра равны, то это куб. Все его грани — равные квадраты (рис. 85, г).

Рис. 85

1. Для определения числа граней и ребер у шестиугольной призмы рассмотрим ее строение. Основаниями призмы являются два шестиугольника, а боковые грани — это шесть параллелограммов.

а) Число граней. Призма имеет 2 основания (верхнее и нижнее) и 6 боковых граней.
Общее число граней вычисляется как сумма числа оснований и числа боковых граней: $2 + 6 = 8$.
Ответ: 8 граней.

б) Число ребер. Каждое шестиугольное основание имеет 6 ребер. Также имеется 6 боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины оснований.
Общее число ребер равно сумме ребер в двух основаниях и числа боковых ребер: $6 + 6 + 6 = 18$.
Ответ: 18 ребер.

2. Чтобы определить, с каким ребром совпадет ребро $ED$ при складывании развертки в призму, необходимо мысленно проследить процесс сборки.

1. Сначала сворачиваем боковую поверхность, которая состоит из трех прямоугольников. Для этого крайние ребра $AA_1$ и $DD_1$ совмещаются. В результате этого действия вершина $A$ совпадает с вершиной $D$, а вершина $A_1$ — с вершиной $D_1$.
2. После сворачивания боковой поверхности получается "труба" с треугольными основаниями. Верхнее отверстие этой трубы образовано ребрами $AB$, $BC$ и $CD$. Так как точка $D$ совпала с $A$, то ребро $CD$ стало ребром $CA$. Таким образом, вершины верхнего основания — это точки $A$, $B$ и $C$.
3. Далее, прикладываем верхнее основание — треугольник $ECD$. Его сторона $CD$ уже является частью боковой поверхности. Чтобы треугольник $ECD$ полностью закрыл верхнее отверстие, его стороны $EC$ и $ED$ должны совпасть с оставшимися сторонами отверстия — $BC$ и $AB$ соответственно.
   • Сторона $EC$ совмещается со стороной $BC$. Это означает, что вершина $E$ совпадает с вершиной $B$.
   • Сторона $ED$ совмещается со стороной $AD$ (которая является стороной $AB$, поскольку $D$ совпала с $A$).

Таким образом, ребро $ED$ на развертке соединяет точки $E$ и $D$. При сборке призмы точка $E$ совпадает с точкой $B$, а точка $D$ — с точкой $A$. Следовательно, ребро $ED$ совпадет с ребром $BA$ (или, что то же самое, с ребром $AB$).
Ответ: С ребром $AB$.