Номер 91, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

91. Докажите, что если у четырехугольника все стороны и все углы равны, то это квадрат.

Для доказательства утверждения воспользуемся определениями основных геометрических фигур.

Дано:

ABCD — четырехугольник.
Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.
Все углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D$.

Доказать:

ABCD — квадрат.

Доказательство:

1. Рассмотрим условие равенства сторон. Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, данный четырехугольник ABCD — это ромб.

2. Рассмотрим условие равенства углов. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$. Так как по условию все углы равны, то величина каждого из них равна:
$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
Четырехугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$), по определению является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник ABCD — это прямоугольник.

3. Из вышеизложенного следует, что наш четырехугольник является одновременно и ромбом (так как все его стороны равны), и прямоугольником (так как все его углы прямые).

Согласно определению, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или, что то же самое, ромб, у которого все углы прямые). Поскольку четырехугольник ABCD удовлетворяет этому определению, он является квадратом.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если у четырехугольника все стороны равны, он является ромбом. Если у него все углы равны, то каждый угол равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$, что делает его прямоугольником. Ромб, который одновременно является прямоугольником, по определению есть квадрат.