Номер 84, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

84. На рисунке 77 изображены квадраты ABCD и AKMN. Периметр квадрата ABCD равен 72 см, $AK = \frac{1}{2}KB$. Найдите периметр многоугольника KBCDNM.

Рис. 77

Найдите периметр многоугольника KBCDNM

1. Для начала определим длину стороны квадрата ABCD. Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — это длина стороны. Согласно условию, периметр квадрата ABCD равен 72 см.

Найдем сторону $a$:

$a = P_{ABCD} \div 4 = 72 \div 4 = 18$ см.

Следовательно, каждая сторона квадрата ABCD равна 18 см: $AB = BC = CD = DA = 18$ см.

2. Теперь найдем длины отрезков AK и KB. Точка K находится на стороне AB, поэтому $AB = AK + KB$. В условии также сказано, что $AK = \frac{1}{2}KB$.

Подставим это соотношение в равенство для стороны AB:

$AB = \frac{1}{2}KB + KB = \frac{3}{2}KB$.

Зная, что $AB = 18$ см, найдем длину отрезка KB:

$18 = \frac{3}{2}KB$

$KB = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ см.

Теперь вычислим длину отрезка AK:

$AK = \frac{1}{2} \cdot KB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

3. Определим длину стороны квадрата AKMN. Так как AKMN — квадрат, все его стороны равны стороне AK.

Таким образом, $AK = AN = NM = MK = 6$ см.

4. Вычислим периметр многоугольника KBCDNM. Периметр — это сумма длин всех его сторон: $P_{KBCDNM} = KB + BC + CD + DN + NM + MK$.

Найдем длину стороны DN. Точка N лежит на стороне AD, поэтому $AD = AN + DN$.

$DN = AD - AN = 18 - 6 = 12$ см.

Теперь у нас есть длины всех сторон, образующих периметр многоугольника KBCDNM:

• $KB = 12$ см
• $BC = 18$ см
• $CD = 18$ см
• $DN = 12$ см
• $NM = 6$ см
• $MK = 6$ см

Сложим длины этих сторон:

$P_{KBCDNM} = 12 + 18 + 18 + 12 + 6 + 6 = 72$ см.

Замечание: Можно прийти к тому же результату быстрее. Периметр фигуры KBCDNM получается из периметра квадрата ABCD путем "вырезания" угла. При этом из периметра убираются отрезки AK и AN, а добавляются отрезки MK и NM. Поскольку AKMN — это квадрат, то $AK = MK$ и $AN = NM$. Значит, длина удаленных участков периметра равна длине добавленных, и общий периметр фигуры не изменяется: $P_{KBCDNM} = P_{ABCD} = 72$ см.

Ответ: 72 см.