Номер 88, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

88. Докажите, что если бумажный квадрат $ABCD$ сложить по диагонали $AC$, то вершины $B$ и $D$ совпадут.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Сгибание фигуры по линии — это физическая модель геометрического преобразования, которое называется осевой симметрией (или отражением) относительно этой линии. В данном случае, линия сгиба (ось симметрии) — это диагональ $AC$.

Чтобы доказать, что при сгибании по диагонали $AC$ вершины $B$ и $D$ совпадут, нам необходимо показать, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, на которые диагональ $AC$ делит квадрат, равны. Если треугольники равны, то при сгибании по их общей стороне $AC$ они полностью совместятся, а значит, вершина $B$ одного треугольника совпадёт с вершиной $D$ другого.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

• Сторона $AB$ равна стороне $AD$, так как все стороны квадрата равны.
• Сторона $BC$ равна стороне $DC$ по той же причине.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам): $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует, что при отражении относительно их общей стороны $AC$ (что эквивалентно сгибанию), они совместятся. При этом совместятся и их соответствующие вершины: вершина $A$ отражается в себя, вершина $C$ отражается в себя, а вершина $B$ отражается в вершину $D$.

Следовательно, при сгибании бумажного квадрата $ABCD$ по диагонали $AC$ вершины $B$ и $D$ совпадут, что и требовалось доказать.

Ответ: Вершины $B$ и $D$ совпадут. Это происходит потому, что диагональ $AC$ делит квадрат на два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Они равны по трём сторонам: $AB=AD$ и $BC=DC$ (как стороны квадрата), а $AC$ — общая сторона. Сгибание по диагонали $AC$ является отражением одного треугольника на другой, и так как они равны, они полностью совмещаются, а значит, вершина $B$ совмещается с вершиной $D$.