Номер 90, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

90. Два отрезка $MK$ и $PE$ с концами на противоположных сторонах квадрата $ABCD$ взаимно перпендикулярны (рис. 80). Докажите, что $MK = PE$.

Рис. 80

Для доказательства равенства отрезков $MK$ и $PE$ воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом.

Доказательство

Рассмотрим поворот плоскости на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра квадрата $ABCD$.

При таком повороте квадрат $ABCD$ перейдет сам в себя. При этом сторона $AB$ перейдет в сторону $BC$, сторона $BC$ — в $CD$, сторона $CD$ — в $DA$, и сторона $DA$ — в $AB$.

Пусть точка $M$, лежащая на стороне $AB$, при этом повороте перейдет в точку $M'$, которая будет лежать на стороне $BC$. Аналогично, точка $K$, лежащая на стороне $CD$, перейдет в точку $K'$, которая будет лежать на стороне $DA$.

Следовательно, отрезок $MK$ при данном повороте перейдет в отрезок $M'K'$.

Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния. Это означает, что длина отрезка равна длине его образа: $MK = M'K'$.

Также одним из свойств поворота на $90^\circ$ является то, что угол между исходным отрезком и его образом равен $90^\circ$. Таким образом, отрезок $M'K'$ перпендикулярен отрезку $MK$, то есть $M'K' \perp MK$.

По условию задачи нам дано, что отрезок $PE$ также перпендикулярен отрезку $MK$: $PE \perp MK$.

Если две прямые (или отрезки) перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $PE \parallel M'K'$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $PEM'K'$. Точки $P$ и $M'$ лежат на прямой $BC$, а точки $E$ и $K'$ лежат на прямой $DA$. Так как в квадрате стороны $BC$ и $DA$ параллельны ($BC \parallel DA$), а также мы доказали, что $PE \parallel M'K'$, то четырехугольник $PEM'K'$ является параллелограммом.

В параллелограмме длины противоположных сторон равны. Следовательно, $PE = M'K'$.

Сопоставляя полученные равенства, имеем:
$PE = M'K'$
$M'K' = MK$
Отсюда следует, что $PE = MK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MK=PE$ доказано.