Номер 86, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

86. Докажите, что если в окружности провести два взаимно перпендикулярных диаметра, то концы этих диаметров будут вершинами квадрата.

Дано:

Дана окружность с центром в точке O и радиусом $r$. В окружности проведены два диаметра, AC и BD, которые взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). Точки A, B, C, D являются концами этих диаметров и лежат на окружности, образуя четырехугольник ABCD.

Доказать:

Четырехугольник ABCD является квадратом.

Доказательство:

Для доказательства проанализируем свойства диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD.

1. Поскольку AC и BD являются диаметрами, они пересекаются в центре окружности O. При этом центр O делит каждый диаметр пополам, так как все отрезки от центра до точек на окружности равны радиусу: $OA = OC = r$ и $OB = OD = r$. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, по определению является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
2. Определим длины диагоналей. Длина диаметра AC равна $2r$, и длина диаметра BD также равна $2r$. Таким образом, диагонали четырехугольника ABCD равны: $AC = BD$. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
3. По условию задачи, диаметры AC и BD взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$ ($AC \perp BD$). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом.

Мы установили, что четырехугольник ABCD является одновременно и прямоугольником (что означает, что все его углы прямые), и ромбом (что означает, что все его стороны равны). Четырехугольник, обладающий обоими этими свойствами, по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Концы двух взаимно перпендикулярных диаметров, проведенных в окружности, являются вершинами квадрата.