Номер 92, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

92. Составьте алгоритм построения с помощью циркуля и линейки квадрата по его диагонали $d$.

Для построения квадрата по его диагонали $d$ необходимо использовать свойства диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Алгоритм построения основывается на этих свойствах.

Анализ

Пусть нам дан отрезок $d$, который является диагональю будущего квадрата $ABCD$. Назовем эту диагональ $AC$. Вторая диагональ, $BD$, должна удовлетворять следующим условиям:

• Ее длина должна быть равна $d$.
• Она должна быть перпендикулярна диагонали $AC$.
• Она должна проходить через середину диагонали $AC$.

Таким образом, задача сводится к построению двух равных, взаимно перпендикулярных отрезков, которые имеют общую середину. Концы этих отрезков и будут вершинами искомого квадрата.

Ответ: Для построения квадрата по его диагонали $d$ следует построить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной $d$, которые пересекаются в своих серединах.

Алгоритм построения

1. С помощью линейки начертить произвольную прямую и отложить на ней отрезок $AC$, равный по длине данной диагонали $d$.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого:
   • Установить раствор циркуля на радиус, заведомо больший половины длины отрезка $AC$.
   • Провести две дуги с центрами в точках $A$ и $C$ так, чтобы они пересеклись по обе стороны от отрезка $AC$.
   • Через точки пересечения дуг провести прямую с помощью линейки. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $AC$ как $O$.
3. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Измерить циркулем расстояние $AO$ (равное $d/2$).
4. Не меняя раствора циркуля, установить его острие в точку $O$ и отложить на серединном перпендикуляре отрезки $OB$ и $OD$, равные $AO$. Точки $B$ и $D$ будут лежать на перпендикуляре по разные стороны от отрезка $AC$.
5. Последовательно соединить точки $A, B, C$ и $D$ с помощью линейки.

Ответ: Приведенный пошаговый алгоритм позволяет построить искомый квадрат по его диагонали с помощью циркуля и линейки.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

По построению, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является серединой отрезка $AC$ ($AO=OC$), так как она лежит на серединном перпендикуляре. Также по построению $OB=OD=AO$, значит, точка $O$ является и серединой отрезка $BD$. Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABCD$ — параллелограмм.

По построению, прямая, содержащая отрезок $BD$, является серединным перпендикуляром к $AC$, следовательно, $AC \perp BD$. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Значит, $ABCD$ — ромб.

Длина диагонали $AC$ по условию равна $d$. Длина диагонали $BD$ равна $BO + OD$. Так как $BO = OD = AO = d/2$, то $BD = d/2 + d/2 = d$. Таким образом, диагонали ромба $ABCD$ равны. Ромб с равными диагоналями является квадратом.

Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — квадрат, диагональ которого равна $d$.

Ответ: Построенная фигура $ABCD$ является квадратом, так как это ромб с равными диагоналями, и длина его диагоналей равна заданной величине $d$.