Номер 83, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

83. На рисунке 76 $ABCD$ — квадрат, его периметр равен 36 см. Найдите сумму периметров прямоугольников $ABKL$ и $LKCD$, если $BK = 3,5$ см.

Рис. 76

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем длину стороны квадрата $ABCD$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны. По условию, периметр квадрата $P_{ABCD} = 36$ см. Отсюда можем найти длину стороны квадрата:

$a = P_{ABCD} / 4 = 36 / 4 = 9$ см.

Таким образом, все стороны квадрата равны 9 см: $AB = BC = CD = DA = 9$ см.

2. Проанализируем сумму периметров прямоугольников $ABKL$ и $LKCD$. Квадрат $ABCD$ разделен отрезком $KL$ на два прямоугольника. Этот отрезок является их общей стороной. Длина отрезка $KL$ равна длине стороны квадрата, которой он параллелен. Из рисунка видно, что $KL$ параллелен сторонам $AB$ и $CD$, следовательно:

$KL = AB = 9$ см.

Периметр прямоугольника $ABKL$ — это сумма длин его сторон: $P_{ABKL} = AB + BK + KL + LA$. Периметр прямоугольника $LKCD$ — это сумма длин его сторон: $P_{LKCD} = LK + KC + CD + DL$.

3. Найдем сумму этих периметров:$P_{сумма} = P_{ABKL} + P_{LKCD} = (AB + BK + KL + LA) + (LK + KC + CD + DL)$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить сумму через стороны исходного квадрата:

$P_{сумма} = AB + CD + (BK + KC) + (LA + DL) + 2 \cdot KL$

Заметим, что суммы длин отрезков на противоположных сторонах квадрата равны самим сторонам:

$BK + KC = BC$

$LA + DL = AD$

Подставив это в формулу суммы, получим:

$P_{сумма} = AB + CD + BC + AD + 2 \cdot KL$

Сумма $(AB + CD + BC + AD)$ представляет собой периметр исходного квадрата $ABCD$, который равен 36 см. Длина общего отрезка $KL$ равна стороне квадрата, то есть 9 см.

Таким образом, искомая сумма периметров равна:

$P_{сумма} = P_{ABCD} + 2 \cdot KL = 36 \text{ см} + 2 \cdot 9 \text{ см} = 36 + 18 = 54$ см.

Значение $BK = 3,5$ см, данное в условии, является избыточным и не требуется для нахождения суммы периметров, так как положение разделяющего отрезка не влияет на итоговый результат.

Ответ: 54 см.