Номер 100, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

100. На рисунке 96 точка $K$ — середина отрезка $CD$, $AC \parallel KM \parallel DB$, $AO = 21$ см, отрезок $OM$ в 3 раза меньше отрезка $MB$. Найдите длину отрезка $AB$.

Рис. 96

По условию задачи даны три параллельные прямые $AC$, $KM$ и $DB$, которые пересекаются двумя секущими прямыми $CD$ и $AB$.

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две секущие, то отрезки, отсекаемые на одной секущей, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой секущей. Для наших прямых и секущих это записывается в виде пропорции:

$ \frac{CK}{KD} = \frac{AM}{MB} $

Из условия известно, что точка $K$ является серединой отрезка $CD$. Это означает, что $CK = KD$, и их отношение $ \frac{CK}{KD} = 1 $.

Подставив это значение в пропорцию, мы получаем:

$ \frac{AM}{MB} = 1 $, что означает $AM = MB$.

Также по условию отрезок $OM$ в 3 раза меньше отрезка $MB$. Обозначим длину отрезка $OM$ переменной $x$. Тогда длина отрезка $MB$ будет равна $3x$.

$OM = x$
$MB = 3x$

Из рисунка видно, что отрезок $AM$ состоит из отрезков $AO$ и $OM$. По условию $AO = 21$ см. Значит, мы можем выразить длину $AM$ как:

$AM = AO + OM = 21 + x$

Теперь мы можем составить уравнение, используя выведенное нами равенство $AM = MB$:

$21 + x = 3x$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$21 = 3x - x$
$21 = 2x$
$x = \frac{21}{2} = 10.5$ см.

Таким образом, мы нашли длину отрезка $OM$: $OM = 10.5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $MB$:
$MB = 3x = 3 \cdot 10.5 = 31.5$ см.

Полная длина отрезка $AB$ равна сумме длин его составляющих частей: $AO$, $OM$ и $MB$.

$AB = AO + OM + MB = 21 + 10.5 + 31.5 = 63$ см.

Ответ: 63 см.