Номер 99, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

99. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, $MK \parallel BC$ и $KN \parallel AC$ (рис. 95). Найдите периметр четырехугольника $AKNC$, если $KB = 7$ см, $BN = 6$ см, $MC = 8$ см.

Рис. 95

Найдите периметр четырехугольника AKNC

Периметр четырехугольника AKNC равен сумме длин его сторон: $P_{AKNC} = AK + KN + NC + AC$. Найдем длину каждой из сторон по отдельности.

1. Сторона AC. По условию задачи, BM — медиана треугольника ABC. Это значит, что точка M является серединой стороны AC, и, следовательно, $AM = MC$. Нам дано, что $MC = 8$ см. Таким образом, длина всей стороны AC равна $AC = AM + MC = 8 + 8 = 16$ см.

2. Сторона AK. В треугольнике ABC рассмотрим отрезок MK. По условию $MK \parallel BC$. Так как этот отрезок проходит через точку M, которая является серединой стороны AC, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) точка K является серединой стороны AB. Следовательно, $AK = KB$. По условию $KB = 7$ см, значит, $AK = 7$ см.

3. Сторона NC. Теперь рассмотрим отрезок KN. По условию $KN \parallel AC$. Мы уже установили, что K — середина стороны AB. Снова применяя теорему Фалеса, мы заключаем, что точка N является серединой стороны BC. Следовательно, $BN = NC$. По условию $BN = 6$ см, значит, $NC = 6$ см.

4. Сторона KN. Поскольку K и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, отрезок KN — это средняя линия треугольника ABC. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. В нашем случае $KN \parallel AC$, поэтому $KN = \frac{1}{2} AC$. Так как $AC = 16$ см, то $KN = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. (Другой способ: можно доказать, что четырехугольник KMCN — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны: $MK \parallel NC$ и $KN \parallel MC$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KN = MC = 8$ см.)

5. Периметр AKNC. Теперь, зная длины всех сторон, мы можем найти периметр четырехугольника:
$P_{AKNC} = AK + KN + NC + AC = 7 + 8 + 6 + 16 = 37$ см.

Ответ: 37 см.