Номер 97, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

97. На рисунке 93 $ME = 32$ см, $PE = 16$ см, $NK = 19,5$ см. Используя значения углов на рисунке, найдите длину отрезка $NG$.

Рис. 93

1. Доказательство параллельности прямых

Сначала докажем, что прямые, на которых лежат отрезки MN, PK и EG, параллельны друг другу.

Рассмотрим прямые MN и PK и секущую ME. Угол при вершине M и угол при вершине P являются соответственными углами. По условию, оба этих угла равны $70^\circ$. Согласно признаку параллельности прямых, если соответственные углы при пересечении двух прямых секущей равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, $MN \parallel PK$.

Теперь рассмотрим прямые PK и EG и ту же секущую ME. Угол при вершине P ($70^\circ$) и угол при вершине E ($110^\circ$) являются односторонними внутренними углами. Найдем их сумму: $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Согласно признаку параллельности прямых, если сумма односторонних внутренних углов при пересечении двух прямых секущей равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны. Следовательно, $PK \parallel EG$.

Так как $MN \parallel PK$ и $PK \parallel EG$, то по свойству транзитивности все три прямые параллельны друг другу: $MN \parallel PK \parallel EG$.

2. Применение теоремы о пропорциональных отрезках

По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две другие прямые (секущие), то они отсекают на них пропорциональные отрезки. В нашем случае параллельные прямые $MN$, $PK$ и $EG$ пересекают две секущие $ME$ и $NG$. Следовательно, выполняется следующее соотношение: $\frac{MP}{PE} = \frac{NK}{KG}$

3. Вычисление длины NG

Найдем длину отрезка MP. Так как точка P лежит на отрезке ME, то $MP = ME - PE$. Подставим известные значения: $MP = 32 \text{ см} - 16 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Теперь подставим все известные значения в пропорцию, чтобы найти длину отрезка KG: $\frac{16}{16} = \frac{19,5}{KG}$ $1 = \frac{19,5}{KG}$ Отсюда следует, что $KG = 19,5$ см.

Искомая длина отрезка NG равна сумме длин отрезков NK и KG: $NG = NK + KG$ $NG = 19,5 \text{ см} + 19,5 \text{ см} = 39 \text{ см}$.

Ответ: 39 см.