Номер 103, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

103. На рисунке 102 точки $M$ и $K$ — середины сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. По данным на рисунке найдите величину угла $C$.

Рис. 102

По условию задачи, точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Таким образом, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. В нашем случае, средняя линия $MK$ параллельна стороне $AB$. Запишем это так: $MK \parallel AB$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $MK$ и $AB$ и секущую $AC$. Углы $\angle BAC$ и $\angle MKC$ являются соответственными. При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.
Следовательно, $\angle MKC = \angle BAC$.
Из условия известно, что $\angle BAC = 65^\circ$, значит, $\angle MKC = 65^\circ$.

Рассмотрим треугольник $KMC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $KMC$ имеем:
$\angle KMC + \angle MKC + \angle KCM = 180^\circ$
Угол $\angle KCM$ — это и есть искомый угол $C$ треугольника $ABC$. Подставим в уравнение известные нам значения углов:
$70^\circ + 65^\circ + \angle C = 180^\circ$
$135^\circ + \angle C = 180^\circ$
Найдем угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - 135^\circ$
$\angle C = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.