Номер 106, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

106. Вершины треугольника $A_1B_1C_1$ являются серединами сторон треугольника $ABC$. Докажите, что $P_{ABC} = 2P_{A_1B_1C_1}$. B

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением периметра треугольника и свойством средней линии треугольника.

Дано:

Треугольник $ABC$.
Точки $A_1, B_1, C_1$ — середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно.

Доказать:

$P_{ABC} = 2P_{A_1B_1C_1}$

Доказательство:

1. Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

2. Периметр треугольника $A_1B_1C_1$ ($P_{A_1B_1C_1}$) равен сумме длин его сторон: $P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1$.

3. Так как точки $A_1, B_1, C_1$ являются серединами сторон треугольника $ABC$, то отрезки $A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1$ являются средними линиями треугольника $ABC$.

4. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Применим это свойство для каждой средней линии:

• Отрезок $A_1B_1$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, он является средней линией, и его длина равна половине длины стороны $AB$: $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.
• Отрезок $B_1C_1$ соединяет середины сторон $AC$ и $AB$. Следовательно, он является средней линией, и его длина равна половине длины стороны $BC$: $B_1C_1 = \frac{1}{2}BC$.
• Отрезок $C_1A_1$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, он является средней линией, и его длина равна половине длины стороны $AC$: $C_1A_1 = \frac{1}{2}AC$.

5. Теперь выразим периметр треугольника $A_1B_1C_1$ через стороны треугольника $ABC$, подставив полученные соотношения в формулу периметра: $P_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC$.

6. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $P_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$.

7. Выражение в скобках $(AB + BC + AC)$ является периметром треугольника $ABC$. Таким образом, мы получаем связь между периметрами двух треугольников: $P_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2}P_{ABC}$.

8. Умножив обе части последнего равенства на 2, мы получим искомое соотношение: $2P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основе свойства средней линии треугольника мы показали, что каждая сторона треугольника $A_1B_1C_1$ вдвое меньше соответствующей параллельной ей стороны треугольника $ABC$. Суммируя длины сторон, мы приходим к выводу, что периметр $P_{A_1B_1C_1}$ вдвое меньше периметра $P_{ABC}$, что эквивалентно равенству $P_{ABC} = 2P_{A_1B_1C_1}$.