Номер 111, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

111. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть дан ромб $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $MNPQ$ является прямоугольником.

Доказательство можно разбить на два этапа:

1. Докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм.

Проведем диагонали ромба $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине:

$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $QP$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Следовательно, $QP$ также является средней линией, и для него справедливо:

$QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, мы получили, что противолежащие стороны $MN$ и $QP$ четырехугольника $MNPQ$ параллельны ($MN \parallel QP$) и равны ($MN = QP$). По признаку параллелограмма, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, $MNPQ$ — параллелограмм.

Аналогично можно показать, что $MQ \parallel BD$ и $NP \parallel BD$, а также $MQ = NP = \frac{1}{2}BD$.

2. Докажем, что параллелограмм $MNPQ$ имеет прямой угол.

Из первого пункта мы знаем, что:

$MN \parallel AC$

$MQ \parallel BD$

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна прямой $AC$, а прямая $MQ$ параллельна прямой $BD$, то угол между прямыми $MN$ и $MQ$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$. Так как $AC \perp BD$, то и $MN \perp MQ$.

Это означает, что угол $\angle QMN$ является прямым: $\angle QMN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, $MNPQ$ — это прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Мы доказали, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, является параллелограммом (по теореме о средней линии треугольника), а так как диагонали ромба перпендикулярны, то смежные стороны этого параллелограмма также перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.