Номер 115, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

115. На рисунке 108 $AK$ и $CP$ — медианы треугольника $ABC$, $AK = 12$ см, $PM = 3,5$ см. Найдите длины отрезков $MK, AM, CM$ и $CP$.

Рис. 108

В треугольнике $ABC$ отрезки $AK$ и $CP$ являются медианами. Точка $M$ — это точка пересечения медиан.

Основное свойство медиан треугольника заключается в том, что они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Это означает, что для медиан $AK$ и $CP$ выполняются следующие соотношения:
$AM : MK = 2 : 1$
$CM : MP = 2 : 1$

Медиана $AK$ делится точкой $M$ так, что отрезок $AM$ составляет две части, а отрезок $MK$ — одну часть. Следовательно, вся медиана $AK$ состоит из $2+1=3$ частей. Длина отрезка $MK$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины всей медианы $AK$.

Дано, что $AK = 12$ см. Найдем $MK$:
$MK = \frac{1}{3} \cdot AK = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Длина отрезка $AM$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины всей медианы $AK$.

$AM = \frac{2}{3} \cdot AK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
Проверить можно так: $AM + MK = 8 + 4 = 12$ см, что совпадает с длиной $AK$.

Ответ: 8 см.

Аналогично, для медианы $CP$ выполняется соотношение $CM : MP = 2 : 1$. Это значит, что длина отрезка $CM$ в два раза больше длины отрезка $MP$.

По условию $PM = 3,5$ см. Найдем $CM$:
$CM = 2 \cdot PM = 2 \cdot 3,5 = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Длина всей медианы $CP$ равна сумме длин её отрезков $CM$ и $MP$.

$CP = CM + MP = 7 + 3,5 = 10,5$ см.

Ответ: 10,5 см.