Номер 119, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

119. В треугольнике $ABC$ (рис. 111) проведены медианы $AK$, $BN$ и $CL$, $M$ — точка их пересечения и $NF \parallel AK$. Найдите периметр треугольника $NMF$, если $AK = 102$ см, $CL = 81$ см, $BN = 96$ см.

Рис. 111

Для того чтобы найти периметр треугольника $NMF$, необходимо вычислить длины каждой из его сторон: $NM$, $MF$ и $NF$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AK$, $BN$ и $CL$, которые пересекаются в точке $M$. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BN$ это означает, что $BM : MN = 2 : 1$. Следовательно, всю медиану $BN$ можно выразить как $BN = BM + MN = 2MN + MN = 3MN$. Отсюда мы можем найти длину отрезка $MN$:$MN = \frac{1}{3}BN$. По условию задачи $BN = 96$ см, значит:$MN = \frac{1}{3} \times 96 = 32$ см.

Ответ: $NM = 32$ см.

Для нахождения длин сторон $MF$ и $NF$ воспользуемся векторным методом. Расположим начало координат в вершине $C$. Тогда $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ — векторы, определяющие стороны треугольника.

По определению медиан:

• $N$ — середина $AC$, поэтому $\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CA}$.
• $K$ — середина $BC$, поэтому $\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CB}$.
• $L$ — середина $AB$, поэтому $\vec{CL} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$.

Точка $F$ лежит на медиане $CL$, а также на прямой, проходящей через точку $N$ параллельно $AK$. Условие $NF \parallel AK$ в векторной форме записывается как $\vec{NF} = s \cdot \vec{AK}$ для некоторого числа $s$.

Выразим векторы $\vec{NF}$ и $\vec{AK}$ через базисные векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{AK} = \vec{CK} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \vec{CA}$.

Точка $F$ лежит на $CL$, поэтому $\vec{CF} = k \cdot \vec{CL} = k \cdot \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$ для некоторого числа $k$.

$\vec{NF} = \vec{CF} - \vec{CN} = k \cdot \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) - \frac{1}{2}\vec{CA} = (\frac{k}{2} - \frac{1}{2})\vec{CA} + \frac{k}{2}\vec{CB}$.

Теперь приравняем выражения для $\vec{NF}$ и $s \cdot \vec{AK}$:

$(\frac{k}{2} - \frac{1}{2})\vec{CA} + \frac{k}{2}\vec{CB} = s \cdot (-\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{CB}) = -s\vec{CA} + \frac{s}{2}\vec{CB}$.

Так как векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ неколлинеарны, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} \frac{k}{2} - \frac{1}{2} = -s \\ \frac{k}{2} = \frac{s}{2} \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $k = s$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{k}{2} - \frac{1}{2} = -k \Rightarrow \frac{3k}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{3}$.

Таким образом, $s = k = \frac{1}{3}$.

Теперь мы можем найти длины $MF$ и $NF$:

1. Найдем $MF$. Точка $M$ — центроид, поэтому $CM = \frac{2}{3}CL$. Мы нашли, что $CF = k \cdot CL = \frac{1}{3}CL$. Точки $C, F, M$ лежат на одной прямой (медиане $CL$), причем $M$ находится дальше от $C$, чем $F$.$MF = CM - CF = \frac{2}{3}CL - \frac{1}{3}CL = \frac{1}{3}CL$. По условию $CL = 81$ см, тогда:$MF = \frac{1}{3} \times 81 = 27$ см.

2. Найдем $NF$. Мы установили, что $\vec{NF} = s \cdot \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AK}$. Это означает, что длина вектора $\vec{NF}$ равна одной трети длины вектора $\vec{AK}$.$NF = \frac{1}{3}AK$. По условию $AK = 102$ см, тогда:$NF = \frac{1}{3} \times 102 = 34$ см.

Ответ: $MF = 27$ см, $NF = 34$ см.

Периметр треугольника $NMF$ равен сумме длин его сторон:

$P_{NMF} = NM + MF + NF$.

Подставляем найденные значения:

$P_{NMF} = 32 + 27 + 34 = 93$ см.

Ответ: Периметр треугольника $NMF$ равен 93 см.