Номер 118, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

118. Медианы $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что периметры треугольников $KML$ и $AMC$ относятся как $1 : 2$.

Докажите, что периметры треугольников KML и AMC относятся как 1 : 2.

Пусть дан треугольник $ABC$. $AK$ и $CL$ — его медианы, которые по определению соединяют вершины с серединами противолежащих сторон. Точка $K$ — середина стороны $BC$, а точка $L$ — середина стороны $AB$. Медианы пересекаются в точке $M$.

1. Рассмотрим отрезок $LK$. Так как он соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$ (сторон $AB$ и $BC$), то $LK$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине. Таким образом, мы получаем первое соотношение для сторон рассматриваемых треугольников: $LK = \frac{1}{2} AC$.

2. Рассмотрим точку пересечения медиан $M$. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке (которая называется центроидом) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы $AK$, проведенной из вершины $A$, имеем: $\frac{AM}{MK} = \frac{2}{1}$, из этого соотношения следует, что $MK = \frac{1}{2} AM$.

Аналогично для медианы $CL$, проведенной из вершины $C$, имеем: $\frac{CM}{ML} = \frac{2}{1}$, из этого соотношения следует, что $ML = \frac{1}{2} CM$.

3. Теперь сравним периметры треугольников $KML$ и $AMC$. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Периметр треугольника $KML$ равен: $P_{\triangle KML} = KM + ML + LK$.

Периметр треугольника $AMC$ равен: $P_{\triangle AMC} = AM + MC + AC$.

Подставим в формулу периметра треугольника $KML$ выражения для его сторон, которые мы получили выше: $P_{\triangle KML} = \frac{1}{2} AM + \frac{1}{2} CM + \frac{1}{2} AC$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $P_{\triangle KML} = \frac{1}{2}(AM + MC + AC)$.

Мы видим, что выражение в скобках в точности равно периметру треугольника $AMC$. Следовательно, мы можем записать: $P_{\triangle KML} = \frac{1}{2} P_{\triangle AMC}$.

Из этого равенства следует, что отношение периметров $\frac{P_{\triangle KML}}{P_{\triangle AMC}} = \frac{1}{2}$, то есть периметры треугольников $KML$ и $AMC$ относятся как $1:2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение периметров треугольников $KML$ и $AMC$ равно $1:2$.