Номер 124, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

124. Изобразите трапецию $ABCD$ с основаниями $AD = 9$ см и $BC = 3$ см, у которой $\angle A = 45^{\circ}$, высота равна 4 см. Найдите величину угла $B$ трапеции. Проведите среднюю линию трапеции и измерьте ее длину. Найдите длину средней линии по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. Сравните результаты.

Для решения задачи сначала опишем построение трапеции ABCD по заданным условиям, а затем выполним необходимые вычисления. По условию дано: основания AD = 9 см и BC = 3 см, угол ∠A = 45°, высота h = 4 см.

Построение трапеции:

1. Начертим нижнее основание AD длиной 9 см.
2. Из точки A построим луч под углом 45° к AD.
3. Проведем прямую, параллельную AD, на расстоянии 4 см (высота трапеции). Точка пересечения этой прямой с лучом из пункта 2 будет вершиной B.
4. От точки B на построенной параллельной прямой отложим отрезок BC длиной 3 см.
5. Соединим точки C и D. Трапеция ABCD построена.

Для дальнейших расчетов проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол ∠AHB = 90°. По условию, угол ∠A = 45°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол ∠ABH можно найти как:

∠ABH = 180° - 90° - 45° = 45°.

Поскольку основания AD и BC параллельны, а высота BH перпендикулярна основанию AD, она также перпендикулярна и основанию BC. Таким образом, угол ∠HBC = 90°.

Угол B трапеции (∠ABC) является суммой углов ∠ABH и ∠HBC:

∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 45° + 90° = 135°.

Ответ: Величина угла B равна 135°.

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. "Измерить" длину средней линии в теоретической задаче означает вычислить ее точное значение, основываясь на заданных параметрах фигуры.

Продлим боковые стороны AB и DC до их пересечения в точке P. При этом образуются два подобных треугольника: ΔPBC и ΔPAD (они подобны по двум углам: ∠P — общий, а ∠PBC и ∠PAD равны как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AP).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Отношение высот этих треугольников, проведенных из вершины P, также равно $k$. Обозначим высоту треугольника ΔPBC как $h_P$, а высоту трапеции как $h = 4$ см. Тогда высота треугольника ΔPAD равна $h_P + h$.

$\frac{h_P}{h_P + h} = \frac{1}{3} \implies 3h_P = h_P + 4 \implies 2h_P = 4 \implies h_P = 2$ см.

Средняя линия трапеции, назовем ее MN, параллельна основаниям и делит высоту трапеции пополам. Расстояние от вершины P до средней линии MN равно $h_P + \frac{h}{2} = 2 + \frac{4}{2} = 4$ см.

Из подобия треугольников ΔPMN и ΔPAD следует, что отношение их сторон равно отношению их высот, проведенных из вершины Р:

$\frac{MN}{AD} = \frac{h_P + h/2}{h_P + h} = \frac{4}{2+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Отсюда находим длину средней линии MN:

$MN = AD \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ см.

Ответ: Длина средней линии, полученная путем вычисления, равна 6 см.

Формула для вычисления длины средней линии трапеции ($m$) через ее основания ($a$ и $b$) имеет вид:

$m = \frac{a+b}{2}$

В данной трапеции основаниями являются AD и BC. Их длины равны:

$a = AD = 9$ см

$b = BC = 3$ см

Подставим эти значения в формулу:

$m = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: Длина средней линии, найденная по формуле, равна 6 см.

Длина средней линии, вычисленная в предыдущем пункте с помощью подобия треугольников ("измерение"), составила 6 см.

Длина средней линии, вычисленная по стандартной формуле, также составила 6 см.

Результаты, полученные двумя различными методами, полностью совпали.

Ответ: Результаты совпадают, что подтверждает верность расчетов и справедливость формулы для средней линии трапеции.