Номер 127, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

127. На рисунке 119 $AD \parallel BC$, М и К — середины отрезков АВ и CD.

Найдите:

а) $\angle MED$, если $\angle C = 125^\circ$, $\angle BDC = 15^\circ$;

б) $ME : EK$, если $AD = 24$ см, $BC = 18$ см.

Рис. 119

а)

Поскольку в четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), то ABCD является трапецией. Отрезок MK соединяет середины боковых сторон AB и CD, следовательно, MK — средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции заключается в том, что она параллельна ее основаниям. Таким образом, $MK \parallel AD \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую CD. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Следовательно, $ \angle ADC + \angle BCD = 180^\circ $.

Угол ADC состоит из двух углов: $ \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC $. Подставим известные значения в уравнение: $ (\angle ADB + \angle BDC) + \angle BCD = 180^\circ $ $ (\angle ADB + 15^\circ) + 125^\circ = 180^\circ $ $ \angle ADB + 140^\circ = 180^\circ $ $ \angle ADB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $.

Теперь рассмотрим параллельные прямые MK и AD и секущую BD. Углы $ \angle MED $ и $ \angle ADB $ являются внутренними односторонними углами, так как они лежат по одну сторону от секущей BD между параллельными прямыми MK и AD. Их сумма равна $180^\circ$. $ \angle MED + \angle ADB = 180^\circ $ Подставим найденное значение $ \angle ADB $: $ \angle MED + 40^\circ = 180^\circ $ $ \angle MED = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $.

Ответ: $140^\circ$.

б)

Рассмотрим треугольник ABD. Точка M — середина стороны AB по условию. Так как MK — средняя линия трапеции, то $MK \parallel AD$. Следовательно, отрезок ME также параллелен AD ($ME \parallel AD$). По свойству отрезка, проходящего через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, этот отрезок является средней линией. Таким образом, точка E является серединой диагонали BD, а отрезок ME — средняя линия треугольника ABD.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. $ ME = \frac{1}{2} AD $. Подставив значение $AD = 24$ см, получаем: $ ME = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 $ см.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Мы установили, что E — середина стороны BD. Точка K — середина стороны CD по условию. Следовательно, отрезок EK соединяет середины двух сторон треугольника BCD, а значит, является его средней линией.

Длина средней линии EK равна половине длины основания BC, которому она параллельна ($EK \parallel BC$, так как $MK \parallel BC$). $ EK = \frac{1}{2} BC $. Подставив значение $BC = 18$ см, получаем: $ EK = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 $ см.

Найдем искомое отношение $ME : EK$: $ ME : EK = 12 : 9 $. Сократим это отношение, разделив обе части на их наибольший общий делитель, который равен 3: $ ME : EK = (12 \div 3) : (9 \div 3) = 4 : 3 $.

Ответ: $4:3$.