Номер 133, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

133. $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ ($M \in AB$), периметр четырехугольника $MBCN$ равен 30 см, периметр четырехугольника $AMND$ равен 40 см, периметр трапеции $ABCD$ равен 50 см. Найдите $MN$.

Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, $MN$ — средняя линия трапеции. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $CD$. Следовательно, выполняются равенства: $AM = MB = \frac{1}{2}AB$ и $CN = ND = \frac{1}{2}CD$.

Периметр трапеции $ABCD$ — это сумма длин всех ее сторон. Запишем это в виде формулы: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$. Из условия задачи известно, что $P_{ABCD} = 50$ см.

Средняя линия $MN$ делит трапецию $ABCD$ на два четырехугольника (которые также являются трапециями) $MBCN$ и $AMND$. Распишем их периметры:

Периметр четырехугольника $MBCN$: $P_{MBCN} = MB + BC + CN + MN$. По условию, $P_{MBCN} = 30$ см.

Периметр четырехугольника $AMND$: $P_{AMND} = AM + AD + ND + MN$. По условию, $P_{AMND} = 40$ см.

Теперь сложим периметры этих двух четырехугольников: $P_{MBCN} + P_{AMND} = (MB + BC + CN + MN) + (AM + AD + ND + MN)$. $30 + 40 = (AM + MB) + (CN + ND) + BC + AD + 2 \cdot MN$.

Используя свойства середин сторон ($AM + MB = AB$ и $CN + ND = CD$), преобразуем выражение: $70 = AB + CD + BC + AD + 2 \cdot MN$.

Выражение $AB + BC + CD + AD$ в правой части уравнения является периметром исходной трапеции $ABCD$. Заменим его на известное значение: $70 = P_{ABCD} + 2 \cdot MN$. $70 = 50 + 2 \cdot MN$.

Остается решить полученное линейное уравнение относительно $MN$: $2 \cdot MN = 70 - 50$ $2 \cdot MN = 20$ $MN = \frac{20}{2}$ $MN = 10$ см.

Ответ: 10 см.