Номер 140, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

140. Докажите, что:

а) разность оснований трапеции меньше суммы ее боковых сторон;

б) сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей.

разность оснований трапеции меньше суммы ее боковых сторон;

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC (для определенности, предположим $AD > BC$) и боковыми сторонами AB и CD.

Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть эта прямая пересекает большее основание AD в точке K.

Рассмотрим четырехугольник ABCK. Так как BC || AD (по определению трапеции), то BC || AK. По нашему построению, AB || CK. Следовательно, ABCK — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CK$ и $BC = AK$.

Теперь рассмотрим треугольник CKD. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это свойство к стороне KD:

$KD < CK + CD$

Длина отрезка KD равна разности оснований трапеции. Так как точка K лежит на отрезке AD, то $AD = AK + KD$. Отсюда $KD = AD - AK$. Поскольку из свойств параллелограмма $AK = BC$, получаем:

$KD = AD - BC$

Подставим выражения для KD и CK в неравенство треугольника:

$AD - BC < AB + CD$

Таким образом, доказано, что разность оснований трапеции меньше суммы ее боковых сторон.

Ответ: Утверждение доказано.

сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC и диагоналями AC и BD. Пусть диагонали пересекаются в точке O.

Рассмотрим два треугольника, образованных пересечением диагоналей: треугольник AOD, сторонами которого являются основание AD и части диагоналей AO и OD, и треугольник BOC, сторонами которого являются основание BC и части диагоналей BO и OC.

Применим неравенство треугольника для каждого из этих треугольников.

Для треугольника AOD имеем:

$AD < AO + OD$

Для треугольника BOC имеем:

$BC < BO + OC$

Сложим полученные неравенства почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$AD + BC < (AO + OD) + (BO + OC)$

Сгруппируем слагаемые в правой части так, чтобы получились полные длины диагоналей:

$AD + BC < (AO + OC) + (BO + OD)$

Так как точка O лежит на обеих диагоналях, отрезки, на которые она их делит, в сумме дают длины самих диагоналей: $AO + OC = AC$ и $BO + OD = BD$. Подставим эти выражения в неравенство:

$AD + BC < AC + BD$

Таким образом, доказано, что сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано.