Номер 146, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

146. Докажите, что сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна $180^\circ$.

Докажите, что сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$). Противоположными углами в данной трапеции являются пары $∠A$ и $∠C$, а также $∠B$ и $∠D$.

Для доказательства воспользуемся двумя основными свойствами трапеции:

1. Свойство любой трапеции: сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Это wynika из того, что данные углы являются внутренними односторонними при двух параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне).
   Для стороны $AB$: $∠A + ∠B = 180°$.
   Для стороны $CD$: $∠C + ∠D = 180°$.
2. Свойство равнобедренной трапеции: углы при любом из оснований равны.
   Углы при основании $AD$: $∠A = ∠D$.
   Углы при основании $BC$: $∠B = ∠C$.

Теперь докажем утверждение для каждой пары противоположных углов.

1. Сумма углов $∠A$ и $∠C$.

Мы знаем, что сумма углов при боковой стороне $CD$ равна $180°$: $∠C + ∠D = 180°$.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании $AD$ равны: $∠A = ∠D$.

Заменим в первом равенстве угол $∠D$ на равный ему угол $∠A$:

$∠C + ∠A = 180°$

2. Сумма углов $∠B$ и $∠D$.

Мы знаем, что сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180°$: $∠A + ∠B = 180°$.

Так как трапеция равнобедренная, то $∠A = ∠D$.

Заменим в этом равенстве угол $∠A$ на равный ему угол $∠D$:

$∠D + ∠B = 180°$

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренной трапеции суммы обеих пар противоположных углов равны $180°$.

Ответ: Утверждение доказано. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) выполняется $∠A + ∠C = 180°$ и $∠B + ∠D = 180°$.