Номер 141, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

141. В трапеции $ABCD$ основание $BC$ равно боковой стороне $AB$ и в 2 раза меньше основания $AD$. Найдите градусную меру угла $ACD$.

Пусть в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ даны следующие условия: $BC = AB$ и $AD = 2 \cdot BC$. Обозначим длину $BC$ за $x$, тогда $AB = x$ и $AD = 2x$.

Выполним дополнительное построение: проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. Так как $BC \parallel AE$ (по определению трапеции) и $AB \parallel CE$ (по построению), то $ABCE$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны: $AE = BC = x$ и $CE = AB = x$.

Найдем длину отрезка $ED$, который является частью основания $AD$. Его длина равна:
$ED = AD - AE = 2x - x = x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CED$. В нем $CE = ED = x$, следовательно, он является равнобедренным.

Теперь обратимся к диагонали $AC$. В треугольнике $\triangle ABC$ стороны $AB=BC=x$, значит, он равнобедренный, и углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$. Таким образом, $\angle BAC = \angle CAD$, и диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$.

Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle BAC = \alpha$, и весь угол при вершине A, $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Вернемся к нашему построению. Так как $AB \parallel CE$ и $AD$ является секущей, то сумма внутренних односторонних углов $\angle BAD + \angle AEC = 180^\circ$. Углы $\angle AEC$ и $\angle CED$ являются смежными, их сумма также равна $180^\circ$: $\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства, получаем, что $\angle CED = \angle BAD = 2\alpha$.

Теперь мы знаем угол при вершине $E$ в равнобедренном треугольнике $\triangle CED$. Найдем углы при его основании $CD$:
$\angle EDC = \angle ECD = \frac{180^\circ - \angle CED}{2} = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$.

Наконец, рассмотрим сумму углов в треугольнике $\triangle ACD$:
$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$.
Мы знаем, что $\angle CAD = \alpha$ и $\angle ADC$ (который совпадает с $\angle EDC$) равен $90^\circ - \alpha$. Подставим эти значения в уравнение:
$\alpha + (90^\circ - \alpha) + \angle ACD = 180^\circ$
$90^\circ + \angle ACD = 180^\circ$
$\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.