Номер 142, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

142. Составьте алгоритм построения с помощью циркуля и линейки трапеции:

а) по основаниям и боковым сторонам;

б) по основаниям и диагоналям.

При каких соотношениях заданных элементов решение существует?

а) по основаниям и боковым сторонам

Пусть даны четыре отрезка: основания $a$ и $b$, и боковые стороны $c$ и $d$. Для определённости будем считать $a > b$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$.

Анализ. Предположим, что трапеция $ABCD$ построена. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$. Четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как $AB \parallel CE$ (по построению) и $BC \parallel AE$ (так как $BC \parallel AD$). Следовательно, $CE = AB = c$ и $AE = BC = b$. Отрезок $ED$ на основании $AD$ равен $ED = AD - AE = a - b$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $CED$ по трем сторонам: $CE=c$, $CD=d$ и $ED=a-b$. После построения этого треугольника легко достроить всю трапецию.

Алгоритм построения:

1. На произвольной прямой с помощью линейки и циркуля откладываем отрезок $AD$ длиной $a$.

2. На отрезке $AD$ от точки $A$ откладываем отрезок $AE$ длиной $b$. Тогда длина отрезка $ED$ будет равна $|a-b|$.

3. Строим треугольник $CED$ по трем сторонам: $ED=|a-b|$, $DC=d$, $CE=c$. Для этого:
а) Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.
б) Из точки $E$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $c$.
в) Точка пересечения этих дуг будет вершиной $C$. (Задача может иметь два решения, симметричных относительно прямой $AD$, которые дают конгруэнтные трапеции).

4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную прямой $AD$.

5. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $c$. Точка пересечения этой дуги с прямой, построенной в шаге 4, будет вершиной $B$. (Другой способ: на прямой из шага 4 отложить от точки $C$ отрезок $CB$ длиной $b$ так, чтобы четырехугольник $ABCD$ был выпуклым).

6. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Условие существования решения. Построение возможно тогда и только тогда, когда можно построить треугольник $CED$. Для этого необходимо, чтобы его стороны удовлетворяли неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Это означает, что для сторон $|a-b|$, $c$ и $d$ должны выполняться неравенства:
$|a-b| + c > d$
$|a-b| + d > c$
$c + d > |a-b|$
Эти три неравенства можно объединить в одно двойное неравенство: $|c-d| < |a-b| < c+d$.

Ответ: Решение существует, если модуль разности длин оснований меньше суммы длин боковых сторон, но больше модуля разности длин боковых сторон, то есть $|c-d| < |a-b| < c+d$.

б) по основаниям и диагоналям

Пусть даны четыре отрезка: основания $a$ и $b$, и диагонали $d_1$ и $d_2$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и диагоналями $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Анализ. Предположим, что трапеция $ABCD$ построена. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$. Четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (поскольку $BC \parallel AD$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $CE = BD = d_2$ и $DE = BC = b$. Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны известны: $AC=d_1$, $CE=d_2$ и $AE = AD + DE = a+b$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACE$ по трем сторонам.

Алгоритм построения:

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AE$ длиной $a+b$.

2. Строим треугольник $ACE$ по трем сторонам: $AE=a+b$, $AC=d_1$, $CE=d_2$. Для этого:
а) Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d_1$.
б) Из точки $E$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d_2$.
в) Точка пересечения этих дуг будет вершиной $C$.

3. Теперь необходимо найти вершины $D$ и $B$. На отрезке $AE$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$ длиной $a$. Таким образом, мы находим вершину $D$. (Отрезок $DE$ при этом будет равен $(a+b)-a=b$).

4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную прямой $AE$ (то есть $AD$).

5. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d_2$. Точка пересечения этой дуги с прямой, построенной в шаге 4, будет вершиной $B$.

6. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Условие существования решения. Построение возможно, если можно построить треугольник $ACE$. Для этого его стороны $a+b$, $d_1$ и $d_2$ должны удовлетворять неравенству треугольника:
$d_1 + d_2 > a+b$
$d_1 + (a+b) > d_2$
$d_2 + (a+b) > d_1$
Последние два неравенства эквивалентны $|d_1-d_2| < a+b$. Таким образом, все три неравенства можно записать в виде одного двойного неравенства.

Ответ: Решение существует, если сумма длин оснований меньше суммы длин диагоналей, но больше модуля разности длин диагоналей, то есть $|d_1 - d_2| < a+b < d_1 + d_2$.