Номер 137, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

137. ABCD — трапеция, $BC \parallel AD$, $CK$ и $DK$ — биссектрисы ее углов $C$ и $D$. Расстояние от точки $K$ до прямой $CD$ равно 4 см. Найдите высоту трапеции.

Найдите высоту трапеции

Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Точка $K$ является точкой пересечения биссектрис углов $C$ и $D$ трапеции $ABCD$.

1. Так как точка $K$ лежит на биссектрисе $CK$ угла $C$ (угла $BCD$), то она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $BC$ и $CD$. Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $CD$. По условию задачи, расстояние от точки $K$ до прямой $CD$ равно 4 см. Следовательно, расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ также равно 4 см.

2. Аналогично, так как точка $K$ лежит на биссектрисе $DK$ угла $D$ (угла $ADC$), она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AD$ и $CD$. Таким образом, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $CD$. Следовательно, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ также равно 4 см.

Высота трапеции — это перпендикулярное расстояние между ее параллельными основаниями $BC$ и $AD$. Поскольку точка $K$ расположена между этими параллельными прямыми, высота трапеции, проведенная через точку $K$, будет равна сумме расстояний от точки $K$ до каждого из оснований.

Пусть $h$ — высота трапеции. Тогда:
$h = (\text{расстояние от } K \text{ до } BC) + (\text{расстояние от } K \text{ до } AD)$
$h = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Ответ: 8 см.