Номер 144, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

144. а) $BH$ и $CM$ - высоты равнобедренной трапеции $ABCD$, меньшее основание $BC$ равно $13 \text{ м}$, $MD = 5 \text{ м}$. Найдите длину средней линии трапеции.

б) $BH$ - высота равнобедренной трапеции $ABCD$, меньшее основание $BC$ равно $8 \text{ см}$, $HD = 12 \text{ см}$. Найдите большее основание трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Высоты $BH$ и $CM$ проведены из вершин $B$ и $C$ к большему основанию $AD$.

Поскольку $BH$ и $CM$ — высоты, они перпендикулярны основанию $AD$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а высоты также параллельны друг другу ($BH \parallel CM$), то четырехугольник $HBCM$ является прямоугольником. Из этого следует, что $HM = BC$. По условию, меньшее основание $BC = 13$ м, значит, $HM = 13$ м.

В равнобедренной трапеции треугольники, образованные боковыми сторонами и высотами, равны. То есть, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCM$ равны (по гипотенузе $AB=CD$ и катету $BH=CM$). Следовательно, их соответствующие стороны равны: $AH = MD$.

По условию задачи дано, что $MD = 5$ м. Значит, $AH = 5$ м.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HM$ и $MD$:
$AD = AH + HM + MD = 5 + 13 + 5 = 23$ м.

Средняя линия трапеции ($L$) вычисляется как полусумма длин ее оснований:
$L = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим известные значения:
$L = \frac{13 + 23}{2} = \frac{36}{2} = 18$ м.

Ответ: 18 м.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Из вершины $B$ проведена высота $BH$ к основанию $AD$.

Проведем также вторую высоту $CM$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок, соединяющий вершину большего основания с основанием высоты, проведенной из противоположной вершины меньшего основания (в нашем случае это отрезок $HD$), равен полусумме оснований.

Докажем это свойство. Большее основание $AD$ состоит из отрезков $AH$, $HM$ и $MD$. Таким образом, $HD = HM + MD$.
Как и в предыдущей задаче, $HBCM$ — прямоугольник, поэтому $HM = BC$.
Также в равнобедренной трапеции $AH = MD$.
Длина отрезка $MD$ может быть выражена как полуразность оснований: $MD = \frac{AD - BC}{2}$.
Тогда $HD = HM + MD = BC + \frac{AD - BC}{2} = \frac{2BC + AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.

Итак, мы имеем формулу: $HD = \frac{AD + BC}{2}$.

По условию задачи $HD = 12$ см и $BC = 8$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти большее основание $AD$:
$12 = \frac{AD + 8}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:
$24 = AD + 8$

Отсюда находим $AD$:
$AD = 24 - 8 = 16$ см.

Ответ: 16 см.