Номер 151, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

151. Диагональ равнобедренной трапеции равна 6 см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD является большим основанием. Согласно условию, диагональ AC равна 6 см, а угол, который она образует с основанием AD, то есть ∠CAD, равен 60°.

Средняя линия трапеции, обозначим ее m, находится по формуле, как полусумма длин оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Для нахождения суммы оснований воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Проведем из вершины C высоту CK на основание AD. В результате образуется прямоугольный треугольник ACK, где ∠CKA = 90°.

В равнобедренной трапеции длина средней линии равна длине отрезка, соединяющего вершину при большем основании с проекцией противоположной вершины на это основание. Докажем это. Проведем вторую высоту BH из вершины B на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, отрезки AH и KD равны. Четырехугольник BCKH является прямоугольником, поэтому BC = HK.

Выразим сумму оснований через отрезки на прямой AD:

$AD = AK + KD$

$BC = HK = AK - AH$

Так как $AH = KD$, то $BC = AK - KD$.

Теперь найдем сумму оснований:

$AD + BC = (AK + KD) + (AK - KD) = 2 \cdot AK$

Подставим это в формулу для средней линии:

$m = \frac{2 \cdot AK}{2} = AK$

Таким образом, длина средней линии равна длине отрезка AK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. В нем нам известны:

• гипотенуза AC = 6 см
• угол, прилежащий к катету AK, ∠CAK = 60°

Найдем длину катета AK, используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle CAK) = \frac{AK}{AC}$

Отсюда выразим AK:

$AK = AC \cdot \cos(\angle CAK)$

Подставим известные значения:

$AK = 6 \cdot \cos(60^{\circ})$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AK = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Поскольку средняя линия $m = AK$, то ее длина составляет 3 см.

Ответ: 3 см.