Номер 1, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

1. Какие из следующих фигур являются центрально-симметричными фигурами и где находится их центр симметрии: а) квадрат; б) параллелограмм; в) угол; г) прямая; д) равносторонний треугольник?

а) квадрат
Квадрат является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии для квадрата служит точка пересечения его диагоналей. Если провести отрезок из любой точки на границе квадрата через эту центральную точку до пересечения с границей с другой стороны, длины отрезков от точки на границе до центра и от центра до другой точки на границе будут равны. Иными словами, поворот на $180^\circ$ вокруг точки пересечения диагоналей отображает квадрат на себя.
Ответ: да, является центрально-симметричной фигурой. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

б) параллелограмм
Параллелограмм также является центрально-симметричной фигурой. Его центр симметрии — это точка пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Эта точка и является центром симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки меняет местами противоположные вершины и стороны, отображая параллелограмм на себя.
Ответ: да, является центрально-симметричной фигурой. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

в) угол
Угол (если это не развернутый угол, то есть не прямая) не является центрально-симметричной фигурой. У него нет такой точки, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура совместилась бы сама с собой. Если предположить, что центр симметрии находится в вершине угла, то любая точка на луче угла при симметричном отображении перейдет в точку на продолжении этого луча за вершину, а эта точка не принадлежит углу.
Ответ: нет, не является центрально-симметричной фигурой.

г) прямая
Прямая является центрально-симметричной фигурой. Особенность прямой в том, что центром симметрии для нее может служить любая ее точка. Если выбрать любую точку $O$ на прямой в качестве центра, то для любой другой точки $A$ на этой прямой найдется симметричная ей точка $A'$ (такая, что $O$ — середина отрезка $AA'$), которая также будет лежать на этой прямой.
Ответ: да, является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии является любая точка этой прямой.

д) равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник не является центрально-симметричной фигурой. Хотя у него есть центр (точка пересечения медиан, биссектрис и высот), поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки не совмещает треугольник с самим собой. Например, вершина треугольника при таком повороте перейдет в точку, которая не является вершиной. Равносторонний треугольник имеет осевую симметрию (три оси) и поворотную симметрию (на $120^\circ$ и $240^\circ$), но не центральную.
Ответ: нет, не является центрально-симметричной фигурой.