Номер 1, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

1. Какие из фигур, изображенных на рисунках 140, а)—г), имеют ось симметрии? Перерисуйте эти фигуры в тетрадь и проведите их оси симметрии.

г) Рис. 140

Осью симметрии называется прямая, которая делит фигуру на две равные части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Проанализируем каждую из представленных фигур, чтобы определить, какие из них имеют ось симметрии.

а) Фигура на рисунке а) представляет собой выпуклый четырехугольник. Для того чтобы у фигуры была ось симметрии, при мысленном перегибании по этой оси одна её половина должна полностью совпасть с другой. В данном четырехугольнике стороны имеют разную длину, и углы не обладают свойствами, которые бы обеспечили симметрию. Ни одна из диагоналей или линий, соединяющих середины сторон, не может служить осью симметрии. Следовательно, эта фигура не имеет оси симметрии.

Ответ: Фигура а) не имеет оси симметрии.

б) Фигура на рисунке б) — это трапеция, у которой основания параллельны. Верхнее основание имеет длину 4 клетки, а нижнее — 6 клеток. Высота трапеции — 3 клетки. Левая боковая сторона соединяет вершины, смещенные по горизонтали на 1 клетку, и правая сторона также соединяет вершины со смещением на 1 клетку. Это означает, что боковые стороны имеют одинаковый наклон и равную длину. Такая трапеция называется равнобедренной. Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии. Эта ось проходит перпендикулярно основаниям через их середины. На рисунке это вертикальная прямая, которая делит нижнее основание на два отрезка по 3 клетки, а верхнее — на два отрезка по 2 клетки.

Ответ: Фигура б) имеет одну ось симметрии.

в) Фигура на рисунке в) — это параллелограмм. Его противолежащие стороны попарно параллельны и равны. Однако осевой симметрией обладают только частные виды параллелограммов — прямоугольник и ромб. Данная фигура не является прямоугольником (ее углы не прямые) и не является ромбом, так как ее смежные стороны не равны (длина горизонтальной стороны — 4 клетки, а длина боковой стороны по теореме Пифагора равна $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ клеток). Таким образом, у этого параллелограмма нет оси симметрии, хотя он имеет центр симметрии в точке пересечения диагоналей.

Ответ: Фигура в) не имеет оси симметрии.

г) Фигура на рисунке г) — это треугольник. Две его стороны расположены на перпендикулярных линиях сетки, следовательно, это прямоугольный треугольник. Длины этих сторон (катетов) равны и составляют по 4 клетки. Треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным. Таким образом, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Любой равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии. Эта ось является биссектрисой угла между равными сторонами, а также медианой и высотой, проведенной к третьей стороне (основанию). В данном случае ось симметрии проходит через вершину прямого угла и середину гипотенузы. Чтобы провести эту ось, нужно соединить вершину прямого угла с серединой противолежащей стороны.

Ответ: Фигура г) имеет одну ось симметрии.