Номер 5, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

5. На координатной плоскости изобразите параллелограмм $ABCD$, где $A(3; 2)$, $B(2; 7)$, $C(6; 7)$, $D(7; 2)$. Постройте параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, симметричный параллелограмму $ABCD$ относительно начала координат $O(0; 0)$.

Для решения задачи сначала определим правило нахождения координат точки, симметричной данной относительно начала координат. Затем применим это правило к каждой вершине параллелограмма ABCD, чтобы найти координаты вершин симметричного ему параллелограмма A₁B₁C₁D₁.

Исходные данные — это координаты вершин параллелограмма ABCD: A(3; 2), B(2; 7), C(6; 7), D(7; 2).

Симметрия относительно начала координат (точка O(0; 0)) является центральной симметрией. Точка $P_1(x_1; y_1)$, симметричная точке $P(x; y)$ относительно начала координат, имеет координаты, которые являются противоположными числами к координатам исходной точки. Формула преобразования выглядит следующим образом:

$x_1 = -x$
$y_1 = -y$

Теперь найдем координаты вершин параллелограмма A₁B₁C₁D₁, применяя эту формулу к каждой вершине параллелограмма ABCD:

• Для вершины A(3; 2) симметричной будет вершина A₁:
  $A_1 = (-3; -2)$
• Для вершины B(2; 7) симметричной будет вершина B₁:
  $B_1 = (-2; -7)$
• Для вершины C(6; 7) симметричной будет вершина C₁:
  $C_1 = (-6; -7)$
• Для вершины D(7; 2) симметричной будет вершина D₁:
  $D_1 = (-7; -2)$

Таким образом, мы нашли все координаты вершин искомого параллелограмма. Построим оба параллелограмма на координатной плоскости для наглядности.

Ответ: Координаты вершин параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, симметричного параллелограмму $ABCD$ относительно начала координат, равны $A_1(-3; -2)$, $B_1(-2; -7)$, $C_1(-6; -7)$, $D_1(-7; -2)$.