Номер 3, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

3. Изобразите треугольник $ABC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$:

а) относительно вершины $C$;

б) относительно точки пересечения медиан.

Для решения задачи сначала изобразим произвольный треугольник $ABC$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно вершины $C$, необходимо выполнить центральную симметрию с центром в точке $C$. Пусть искомый треугольник — $A_1B_1C_1$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Вершина $C_1$ искомого треугольника совпадает с центром симметрии $C$, так как точка, симметричная центру симметрии относительно самого себя, есть сама эта точка.

2. Для нахождения вершины $A_1$, симметричной вершине $A$, проводим луч $AC$ и откладываем на нем за точкой $C$ отрезок $CA_1$, равный отрезку $AC$. Точка $C$ является серединой отрезка $AA_1$.

3. Аналогично находим вершину $B_1$: проводим луч $BC$ и откладываем за точкой $C$ отрезок $CB_1$, равный отрезку $BC$. Точка $C$ является серединой отрезка $BB_1$.

4. Соединив точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (которая совпадает с $C$), получаем искомый треугольник $A_1B_1C$.

Ответ: Искомый треугольник $A_1B_1C$ получается построением точек $A_1$ и $B_1$, симметричных соответственно точкам $A$ и $B$ относительно точки $C$, и соединением полученных точек с точкой $C$.

Для построения треугольника, симметричного $ABC$ относительно точки пересечения его медиан, сначала нужно найти эту точку, которая является центром симметрии. Эта точка называется центроидом. Обозначим ее $M$.

1. Находим точку $M$. Для этого строим две любые медианы треугольника. Например, находим середину $K_a$ стороны $BC$ и проводим медиану $AK_a$. Затем находим середину $K_b$ стороны $AC$ и проводим медиану $BK_b$. Точка их пересечения $M = AK_a \cap BK_b$ и есть искомый центр симметрии.

2. Далее строим треугольник $A_2B_2C_2$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $M$. Для этого находим образы вершин $A, B, C$.

3. Для нахождения вершины $A_2$, симметричной вершине $A$ относительно $M$, проводим луч $AM$ и откладываем за точкой $M$ отрезок $MA_2$, равный отрезку $AM$. Точка $M$ будет серединой отрезка $AA_2$.

4. Аналогично строим вершину $B_2$ на луче $BM$ так, что отрезок $MB_2$ равен отрезку $BM$.

5. Таким же образом строим вершину $C_2$ на луче $CM$ так, что отрезок $MC_2$ равен отрезку $CM$.

6. Соединяем точки $A_2, B_2, C_2$ и получаем искомый треугольник $A_2B_2C_2$.

Ответ: Сначала находится точка $M$ пересечения медиан треугольника $ABC$. Затем строятся точки $A_2, B_2, C_2$, симметричные соответственно точкам $A, B, C$ относительно точки $M$. Соединив эти точки, получаем искомый треугольник $A_2B_2C_2$.