Номер 149, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

149. Отрезок $BH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$), $DB$ — биссектриса ее угла $D$, $AD + BC = 48$, $AH = 8$. Найдите $CD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобедренной, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях равны.

1. Рассмотрим свойства диагонали и оснований.
Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а диагональ $DB$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны. По условию, $DB$ — биссектриса угла $D$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle CDB = \angle ADB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CBD = \angle CDB$. Поскольку в треугольнике $BCD$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $DB$. Отсюда следует равенство его боковых сторон: $BC = CD$.

2. Используем свойство высоты в равнобедренной трапеции.
В равнобедренной трапеции высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к большему основанию $AD$, отсекает на нем отрезок $AH$, длина которого равна полуразности оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2}$ По условию $AH = 8$, следовательно: $8 = \frac{AD - BC}{2}$ Умножив обе части на 2, получим: $AD - BC = 16$

3. Найдем длины оснований.
У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($AD$ и $BC$): 1. $AD + BC = 48$ (из условия) 2. $AD - BC = 16$ (из предыдущего шага) Сложим эти два уравнения: $(AD + BC) + (AD - BC) = 48 + 16$ $2 \cdot AD = 64$ $AD = 32$ Теперь подставим найденное значение $AD$ в первое уравнение, чтобы найти $BC$: $32 + BC = 48$ $BC = 48 - 32$ $BC = 16$

4. Найдем длину стороны CD.
Из первого шага мы установили, что $CD = BC$. Так как мы вычислили, что $BC = 16$, то и $CD = 16$.

Ответ: 16