Номер 152, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

152. В трапеции $ABCD$ $\angle ADB = \angle DAC$, $AC \perp BD$, $AD + BC = 16$ см. Найдите высоту $BH$.

Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями AD и BC.

1. Докажем, что трапеция ABCD является равнобедренной. Поскольку AD || BC (как основания трапеции), углы $ \angle ADB $ и $ \angle CBD $ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей BD. Таким образом, $ \angle ADB = \angle CBD $. По условию задачи дано, что $ \angle ADB = \angle DAC $. Из этих двух равенств следует, что $ \angle CBD = \angle DAC $. Углы $ \angle CBD $ и $ \angle CAD $ (это тот же угол, что и $ \angle DAC $) опираются на одну и ту же сторону CD. Если углы, опирающиеся на один и тот же отрезок и лежащие по одну сторону от него, равны, то вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная.

2. Найдем высоту трапеции, используя свойства равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию, $ AC \perp BD $, значит, $ \angle AOD = 90^\circ $. В равнобедренной трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и примыкающие к основаниям, являются равнобедренными. То есть $ \triangle AOD $ и $ \triangle BOC $ — равнобедренные ($ OA = OD $, $ OB = OC $). Так как $ \angle AOD = 90^\circ $ и $ \angle BOC = 90^\circ $ (как вертикальные), то треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle BOC $ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

Проведем через точку O высоту трапеции KL, где K лежит на BC, а L — на AD. Тогда искомая высота трапеции $ BH $ будет равна длине отрезка KL. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $ \triangle BOC $ отрезок OK является высотой, проведенной к гипотенузе BC. Высота в прямоугольном равнобедренном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $ OK = \frac{1}{2} BC $. Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $ \triangle AOD $ отрезок OL является высотой, проведенной к гипотенузе AD. Следовательно, $ OL = \frac{1}{2} AD $.

Высота трапеции $ BH = KL = OK + OL = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD = \frac{BC + AD}{2} $. Таким образом, высота равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна ее средней линии.

3. Вычислим высоту BH. По условию $ AD + BC = 16 $ см. Подставляем это значение в полученную формулу: $ BH = \frac{16}{2} = 8 $ см.

Ответ: 8 см.