Номер 147, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

147. Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания трапеции) пересекаются в точке $O$, $AO = DO$. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Дано:

ABCD — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = DO$.

Доказать:

Трапеция ABCD является равнобедренной (то есть ее боковые стороны равны, $AB = CD$).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. Так как $ABCD$ — трапеция, ее основания $AD$ и $BC$ параллельны.
2. Углы $\angle OAD$ (он же $\angle CAD$) и $\angle OCB$ (он же $\angle ACB$) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
3. Аналогично, углы $\angle ODA$ (он же $\angle BDA$) и $\angle OBC$ (он же $\angle CBD$) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.
4. Из равенства двух углов ($\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$) следует, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} $$
6. По условию задачи дано, что $AO = DO$. Подставим это равенство в полученную пропорцию: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{AO}{BO} $$ Из этого следует, что $CO = BO$.
7. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. Сравним их элементы:
   • $AO = DO$ (по условию).
   • $BO = CO$ (доказано в п. 6).
   • $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные углы).
   Таким образом, $\triangle AOB \cong \triangle DOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
8. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = DC$.
9. Поскольку боковые стороны трапеции $ABCD$ равны, по определению она является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Трапеция ABCD является равнобедренной.