Номер 153, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

153. Составьте алгоритм построения равнобедренной трапеции:

а) по двум основаниям и боковой стороне;

б) по диагонали и двум основаниям.

а) по двум основаниям и боковой стороне;

Для построения равнобедренной трапеции $ABCD$ по двум основаниям $a$ и $b$ (пусть $AD=a, BC=b, a>b$) и боковой стороне $c$ ($AB=CD=c$) используется метод вспомогательного треугольника.

Анализ построения

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с большим основанием $AD$ в точке $K$. Полученный четырехугольник $ABCK$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$ по определению трапеции, $CK \parallel AB$ по построению). Из этого следует, что $AK = BC = b$ и $CK = AB = c$. Рассмотрим треугольник $KCD$. Его стороны известны: $CD=c$ (боковая сторона трапеции), $CK=c$ (так как $CK=AB$ и трапеция равнобедренная), и $KD = AD - AK = a - b$. Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного треугольника $KCD$. Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $CK + CD > KD$, что равносильно $c + c > a - b$, или $c > \frac{a-b}{2}$.

Алгоритм построения

1. Начертить произвольную прямую и отложить на ней отрезок $KD$, длина которого равна разности оснований $a-b$.
2. Построить треугольник $KCD$ со сторонами $KD = a-b$, $CK = c$ и $CD = c$. Для этого провести окружность с центром в точке $K$ и радиусом $c$ и окружность с центром в точке $D$ и радиусом $c$. Точка $C$ — одна из точек пересечения этих окружностей.
3. На луче $DK$ от точки $K$ отложить отрезок $KA=b$ в сторону, противоположную точке $D$. В результате получится отрезок $AD = AK + KD = b + (a-b) = a$, который является большим основанием трапеции.
4. Построить четвертую вершину $B$. Так как $ABCK$ — параллелограмм, можно построить $B$ путем откладывания от точки $A$ вектора, равного вектору $\vec{KC}$, либо проведя через $A$ прямую, параллельную $CK$, и через $C$ прямую, параллельную $AK$, и найдя их точку пересечения.
5. Последовательно соединить точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая равнобедренная трапеция.

Ответ: Алгоритм построения, основанный на создании вспомогательного треугольника со сторонами $c$, $c$ и $a-b$, представлен выше.

б) по диагонали и двум основаниям.

Для построения равнобедренной трапеции $ABCD$ по двум основаниям $a$ и $b$ (пусть $AD=a, BC=b, a>b$) и диагонали $d$ ($AC=BD=d$) также используется метод вспомогательного треугольника.

Анализ построения

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$. Четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом ($BC \parallel DK$ и $CK \parallel BD$). Следовательно, $DK = BC = b$ и $CK = BD$. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому $AC = BD = d$. Отсюда следует, что $CK = d$. Рассмотрим треугольник $ACK$. Длины его сторон известны: $AC=d$ (диагональ трапеции), $CK=d$ (так как $CK=BD=d$), и $AK = AD + DK = a + b$. Задача сводится к построению равнобедренного треугольника $ACK$. Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $AC + CK > AK$, то есть $d + d > a + b$, или $2d > a+b$.

Алгоритм построения

1. Построить отрезок $AK$, длина которого равна сумме оснований $a+b$.
2. Построить треугольник $ACK$ со сторонами $AK=a+b$, $AC=d$ и $CK=d$. Для этого провести две окружности радиусом $d$ с центрами в точках $A$ и $K$. Точка $C$ — одна из точек их пересечения.
3. На отрезке $AK$ отложить от точки $A$ отрезок $AD=a$. Это будет большее основание трапеции.
4. Провести через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AK$. На этой прямой будет лежать меньшее основание $BC$.
5. На построенной прямой отложить от точки $C$ отрезок $CB=b$ таким образом, чтобы четырехугольник $ABCD$ был выпуклым (вектор $\vec{CB}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{DA}$).
6. Последовательно соединить точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая равнобедренная трапеция.

Ответ: Алгоритм построения, основанный на создании вспомогательного треугольника со сторонами $d$, $d$ и $a+b$, представлен выше.